Четырехугольники и многоугольники

Четырехугольники и многоугольники.

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны и углы попарно равны.

$АВ=CD;BC=AD$

$∠А= ∠С; ∠В= ∠D$.

2. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

$∆ABD=∆BCD$

3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

$BO=OD; AO=OC$

4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

$BD^2+AC^2=2(AB^2+AD^2)$

5. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает от него равнобедренный треугольник.

$∆АВК$ - равнобедренный.

6. В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне (соседних углов), пересекаются под углом в $90°$.

Площадь параллелограмма:

1. Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними. $S=a·b·sinα$, где $а$ и $b$ - длины сторон параллелограмма, а $α$ - угол между этими сторонами.
2. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. $S=h_a·a$, где $a$ - сторона параллелограмма, $h_a$ - высота, проведенная к стороне $a$.

Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника:

1. Все свойства параллелограмма (Так как прямоугольник – это тот же параллелограмм, только особенный, поэтому у него присутствуют все свойства параллелограмма).
2. Диагонали прямоугольника равны. 

Площадь прямоугольника равна половине произведения смежных (соседних) сторон.

$S=a·b$, где $а$ и $b$ - смежные стороны.

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

1. Все свойства параллелограмма.
2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. BD⊥AC.
3. Диагонали ромба являются биссектрисами углов.

Площадь ромба:

1. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба

2. Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус острого угла ромба.

$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ - длина стороны ромба, а $α$ - угол между соседними сторонами.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

1. Все свойства прямоугольника.
2. Все свойства ромба.

Площадь квадрата:

1. $S=a^2$, где $а$ - сторона квадрата.
2. $S={d^2}/2$, где $d$ - диагональ квадрата.

Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Параллельные стороны называются основаниями: $ВС$ и $AD$ - основания.

Непараллельные стороны называются боковыми сторонами: $АВ$ и $CD$ – боковые стороны.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Свойства средней линии трапеции:

1. Средняя линия параллельна основаниям трапеции.

$MN││BC; MN││AD.$

2. Средняя линия равна полусумме оснований.

$MN={BC+AD}/{2}$

3. Диагональ делит среднюю линию на две части, каждая из которых является средней линией получившихся треугольников.

$МК$ - средняя линия треугольника $ABD; MK={AD}/{2}$.

$KN$ - средняя линия треугольника $BCD; KN={BC}/{2}$.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.

Свойства равнобедренной трапеции:

1. Углы при основаниях равны.

$∠А=∠D; ∠B=∠C.$

2. Диагонали в равнобедренной трапеции равны.

$BD=AC.$

3. Основание высоты равнобедренной трапеции, опущенной из меньшего основания, делит другое основание на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований.

$АС_1={BC+AD}/{2}$

4. Основания высот равнобедренной трапеции, опущенных из меньшего основания, делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других – полуразности оснований.

$BC=B_1C_1;AB_1=C_1D={AD-BC}/{2}$

5. Если трапеция является равнобедренной, то около неё можно описать окружность.

6. Если в равнобедренной трапеции диагонали пересекаются под прямым углом, то высота рана длине средней линии данной трапеции.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$AC^2+BC^2=AB^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ - противолежащий катет; $ВС$ - прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ - противолежащий катет; $АС$ - прилежащий катет.

1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Два многоугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного многоугольника больше сходственных сторон другого многоугольника в некоторое число раз.

Число $k$ - коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного многоугольника больше сторон другого многоугольника.)

1. Периметры подобных многоугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
2. Отношение площадей двух подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Часто встречаются задания, в которых на клетчатой бумаге изображен многоугольник и надо найти его площадь. Площадь можно вычислить несколькими способами:

1. Можно определить по рисунку тип многоугольника и по известным формулам найти площадь.
2. Площадь искомой фигуры можно найти по формуле Пика:

$S={Г}/{2}+В-1$, где $Г$ - количество узлов на границе фигуры (на сторонах и вершинах);

$В$ - количество узлов внутри фигуры.

Узел - это уголок клетки или пересечение линий