Четырехугольники и многоугольники
Четырехугольники и многоугольники.
Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
$АВ││CD;BC││AD$
Свойства параллелограмма:
1. В параллелограмме противоположные стороны и углы попарно равны.
$АВ=CD;BC=AD$
$∠А= ∠С; ∠В= ∠D$.
2. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
$∆ABD=∆BCD$
3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
$BO=OD; AO=OC$
4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
$BD^2+AC^2=2(AB^2+AD^2)$
5. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает от него равнобедренный треугольник.
$∆АВК$ - равнобедренный.
6. В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне (соседних углов), пересекаются под углом в $90°$.
Площадь параллелограмма:
- Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними. $S=a·b·sinα$, где $а$ и $b$ - длины сторон параллелограмма, а $α$ - угол между этими сторонами.
- Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. $S=h_a·a$, где $a$ - сторона параллелограмма, $h_a$ - высота, проведенная к стороне $a$.
Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойства прямоугольника:
- Все свойства параллелограмма (Так как прямоугольник – это тот же параллелограмм, только особенный, поэтому у него присутствуют все свойства параллелограмма).
- Диагонали прямоугольника равны.
Площадь прямоугольника равна половине произведения смежных (соседних) сторон.
$S=a·b$, где $а$ и $b$ - смежные стороны.
Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства ромба:
- Все свойства параллелограмма.
- Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. BD⊥AC.
- Диагонали ромба являются биссектрисами углов.
Площадь ромба:
1. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба
2. Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус острого угла ромба.
$S=a^2·sinα$, где $а$ - длина стороны ромба, а $α$ - угол между соседними сторонами.
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадрата:
- Все свойства прямоугольника.
- Все свойства ромба.
Площадь квадрата:
- $S=a^2$, где $а$ - сторона квадрата.
- $S={d^2}/2$, где $d$ - диагональ квадрата.
Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.
Параллельные стороны называются основаниями: $ВС$ и $AD$ - основания.
Непараллельные стороны называются боковыми сторонами: $АВ$ и $CD$ – боковые стороны.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.
Свойства средней линии трапеции:
1. Средняя линия параллельна основаниям трапеции.
$MN││BC; MN││AD.$
2. Средняя линия равна полусумме оснований.
$MN={BC+AD}/{2}$
3. Диагональ делит среднюю линию на две части, каждая из которых является средней линией получившихся треугольников.
$МК$ - средняя линия треугольника $ABD; MK={AD}/{2}$.
$KN$ - средняя линия треугольника $BCD; KN={BC}/{2}$.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.
Свойства равнобедренной трапеции:
1. Углы при основаниях равны.
$∠А=∠D; ∠B=∠C.$
2. Диагонали в равнобедренной трапеции равны.
$BD=AC.$
3. Основание высоты равнобедренной трапеции, опущенной из меньшего основания, делит другое основание на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований.
$АС_1={BC+AD}/{2}$
4. Основания высот равнобедренной трапеции, опущенных из меньшего основания, делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других – полуразности оснований.
$BC=B_1C_1;AB_1=C_1D={AD-BC}/{2}$
5. Если трапеция является равнобедренной, то около неё можно описать окружность.
6. Если в равнобедренной трапеции диагонали пересекаются под прямым углом, то высота рана длине средней линии данной трапеции.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$AC^2+BC^2=AB^2$
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$
Для острого угла $В: АС$ - противолежащий катет; $ВС$ - прилежащий катет.
Для острого угла $А: ВС$ - противолежащий катет; $АС$ - прилежащий катет.
- Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
- Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
Пример:
В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:
$sinB={AC}/{AB};$
$cosB={BC}/{AB};$
$tg B={AC}/{BC};$
$ctg B={BC}/{AC}.$
Два многоугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного многоугольника больше сходственных сторон другого многоугольника в некоторое число раз.
Число $k$ - коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного многоугольника больше сторон другого многоугольника.)
- Периметры подобных многоугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
- Отношение площадей двух подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Часто встречаются задания, в которых на клетчатой бумаге изображен многоугольник и надо найти его площадь. Площадь можно вычислить несколькими способами:
- Можно определить по рисунку тип многоугольника и по известным формулам найти площадь.
- Площадь искомой фигуры можно найти по формуле Пика:
$S={Г}/{2}+В-1$, где $Г$ - количество узлов на границе фигуры (на сторонах и вершинах);
$В$ - количество узлов внутри фигуры.
Узел - это уголок клетки или пересечение линий
Пример:
Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки $1$ см $×$ $1$ см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение:
Отметим красными точками узлы на границе фигуры (Г), а желтыми – узлы внутри фигуры (В).
$Г=7; В=6$
Подставим данные в формулу Пика:
$S={7}/{2}+6-1=3.5+6-1=8.5$
Ответ: $8.5$