Текстовые задачи. Задачи на движение

Пример:

Первые $140$ км автомобиль ехал со скоростью $70$ км/ч, следующие $220$ км — со скоростью $80$ км/ч, а затем $30$ км — со скоростью $120$ км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Для простоты решения задачи сделаем таблицу.

Получилось три участка пути, про каждый участок мы знаем его путь и скорость, но для расчета средней скорости необходимо знать путь и время каждого участка. Найдем время каждого участка пути, для этого разделим путь на скорость.

${\mathit{t}}_1=\frac{{\mathit{S}}_1}{{\mathit{v}}_1}=\frac{140}{70}=2$ часа

${\mathit{t}}_2=\frac{{\mathit{S}}_2}{{\mathit{v}}_2}=\frac{220}{80}=2.75$ часа

${\mathit{t}}_3=\frac{{\mathit{S}}_3}{{\mathit{v}}_3}=\frac{30}{120}=0.25$ часа

${\mathit{v}}_{\mathit{с}\mathit{р}}=\frac{{\mathit{S}}_1+{\mathit{S}}_2+{\mathit{S}}_3}{{\mathit{t}}_1+{\mathit{t}}_2+{\mathit{t}}_3}=\frac{140+220+30}{2+2.75+0.25}=\frac{390}{5}=78$ км/ч

Ответ: $78$ км/ч

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью $60$ км/ч, проезжает мимо платформы, длина которой равна $200$ метрам, за $3$ минуты. Найдите длину поезда в метрах.

Решение:

Считается, что поезд проедет полностью мимо платформы, если он проедет длину платформы и еще свою длину.

Найдем расстояние, которое поезд проедет за три минуты. Время переведем в секунды и умножим на скорость поезда, которую переведем из км/ч в м/с.

$3$ минуты $=3·60=180$ секунд

$60$ км/ч$=\frac{60}{3.6}=\frac{600}{36}=\frac{50}{3}$ м/с

$\mathit{S}=\mathit{v}·\mathit{t}=\frac{50·180}{3}=3000$ метров

Чтобы найти длину поезда из всего пройденного пути за $3$ минуты вычтем длину платформы:

$\mathit{l}=3000-200=2800$ метров.

Ответ: $2800$

Пример:

Два велосипедиста одновременно отправились в пробег протяжённостью $84$ километра. Первый ехал со скоростью, на $5$ км/ч большей скорости второго, и прибыл к финишу на $5$ часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть $\mathit{х}$ км/ч –скорость второго велосипедиста, тогда $\left(\mathit{х}+5\right)$ км/ч – скорость первого велосипедиста.

Создаем стандартную таблицу и столбец $\mathit{«}\mathit{v}\mathit{»}$ заполняем данными с неизвестными.

Так как расстояние, которое проехали велосипедисты одинаково и равно $84$ км, заполняем столбец $\mathit{«}\mathit{S}\mathit{»}$.

Третий столбец заполняем по формуле $\mathit{t}=\frac{\mathit{S}}{\mathit{v}}$.

Именно содержимое третьего столбца будем использовать для составления уравнения к задаче. По условию задачи разница между временами движения велосипедистов равна $5$ часов. Дольше в пути находился второй велосипедист, следовательно, из большего времени отнимаем меньшее время и все это равно разнице времен.

$\frac{84}{\mathit{х}}-\frac{84}{\left(\mathit{х}+5\right)}=5$

Перенесем все слагаемые в левую сторону уравнения

$\frac{84}{\mathit{х}}-\frac{84}{\left(\mathit{х}+5\right)}-5=0$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $\mathit{х}\left(\mathit{х}+5\right)$, тогда к первой дроби дополнительный множитель равен $\left(\mathit{х}+5\right)$, ко второй $\mathit{х}$, а к третьему слагаемому $\left({\mathit{х}}^2+5\mathit{х}\right)$.Получаем:

$\frac{84\mathit{х}+420-84\mathit{х}-5{\mathit{х}}^2-25\mathit{х}}{\mathit{х}\left(\mathit{х}+5\right)}=0$

Далее проговариваем: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$84\mathit{х}+420-84\mathit{х}-5{\mathit{х}}^2-25\mathit{х}=0;\mathit{х}\left(\mathit{х}+5\right)\ne 0$

Найдем сначала корни знаменателя (ОДЗ дроби)

$\mathit{х}\left(\mathit{х}+5\right)\ne 0$

$\mathit{х}\ne 0$ или $\mathit{х}+5\ne 0$

$\mathit{х}\ne 0$ или $\mathit{х}\ne -5$

Найдем корни числителя.

$84\mathit{х}+420-84\mathit{х}-5{\mathit{х}}^2-25\mathit{х}=0;$

Приведем подобные слагаемые и расставим поставим их в порядке убывания степеней

$-5{\mathit{х}}^2-25\mathit{х}+420=0$

Разделим уравнение на $\left(-5\right)$

${\mathit{х}}^2+5\mathit{х}-84=0$

По теореме Виета

${\mathit{х}}_1=-12,{\mathit{х}}_2=7$

${\mathit{х}}_1=-12$ нам не подходит, так как отрицательная величина.

${\mathit{х}}_2=7$ км/ч – скорость велосипедиста.

Ответ: $7$

Пример:

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна $18$ км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна $92$ км/ч, и через $45$ минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Сделаем рисунок к задаче, для этого мысленно развернем круговую трассу в прямую.

$\mathit{S}=18$ км

$\mathit{t}=45$мин$=\frac{3}{4}$часа

Пусть $\mathit{х}$ км/ч - скорость второго автомобиля.

Скорость опережения равна разности скоростей.

Тогда скорость опережения равна ${\mathit{v}}_{\mathit{о}\mathit{п}\mathit{е}\mathit{р}\mathit{е}\mathit{ж}\mathit{е}\mathit{н}\mathit{и}\mathit{я}}=\left(92-\mathit{х}\right)$. Так как первый автомобиль обгонит второй на один круг за $45$ минут, то скорость опережения можно выразить еще одним способом: для этого длину круга надо разделить на время опережения.

Не забываем перевести время из минут в часы $45$минут$=\frac{45}{60}=\frac{3}{4}$часа

${\mathit{v}}_{\mathit{о}\mathit{п}\mathit{е}\mathit{р}\mathit{е}\mathit{ж}\mathit{е}\mathit{н}\mathit{и}\mathit{я}}=\frac{\mathit{S}}{\mathit{t}}=\frac{18}{\frac{3}{4}}=\frac{18·4}{3}=24$

Так как мы разными записями выразили скорость опережения, то для составления уравнения приравняем обе записи друг к другу.

$92-\mathit{х}=24$

$-\mathit{х}=24-92$

$\mathit{х}=68$ км/ч – скорость второго автомобиля.

Ответ: $68$

Пример:

Катер прошел против течения реки $120$ км и вернулся обратно, затратив на обратный путь на $4$ часа меньше времени. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки $4$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Для начала необходимо за «х» взять неизвестную. В нашем случае(и чаще всего) за «х» берется скорость.

Пусть $\mathit{х}$ км/ч – собственная скорость катера, тогда $\left(\mathit{х}+4\right)$ км/ч – скорость катера по течению; $\left(\mathit{х}-4\right)$ км/ч – скорость катера против течения.

Создаем стандартную таблицу и столбец $\mathit{«}\mathit{v}\mathit{»}$ заполняем данными с неизвестными.

Так как расстояние, которое катер проплыл по течению и против течения одинаково и равно $120$ км, заполняем столбец $\mathit{«}\mathit{S}\mathit{»}$

Третий столбец заполняем по формуле $\mathit{t}=\frac{\mathit{S}}{\mathit{v}}$

Именно содержимое третьего столбца будем использовать для составления уравнения к задаче. По условию задачи разница между временами движения против течения и по течению равна $4$ часа, следовательно, из большего времени отнимаем меньшее время и все это равно разнице времен.

$\frac{120}{\left(\mathit{х}-4\right)}-\frac{120}{\left(\mathit{х}+4\right)}=4$

Решим полученное дробно рациональное уравнение, для этого перенесем все слагаемые в левую часть.

$\frac{120}{\left(\mathit{х}-4\right)}-\frac{120}{\left(\mathit{х}+4\right)}-4=0$

Приведем дроби к общему знаменателю $\left(\mathit{х}-4\right)\left(\mathit{х}+4\right)$, тогда к первой дроби дополнительный множитель равен $\left(\mathit{х}+4\right)$, ко второй $\left(\mathit{х}-4\right)$, а к третьему слагаемому $\left(\mathit{х}+4\right)\left(\mathit{х}-4\right)$. Получаем:

$\frac{120\left(\mathit{х}+4\right)-120\left(\mathit{х}-4\right)-4\left(\mathit{х}-4\right)\left(\mathit{х}+4\right)}{\left(\mathit{х}-4\right)\left(\mathit{х}+4\right)}=0$

Далее проговариваем: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$120\left(\mathit{х}+4\right)-120\left(\mathit{х}-4\right)-4\left(\mathit{х}-4\right)\left(\mathit{х}+4\right)=0;\left(\mathit{х}-4\right)\left(\mathit{х}+4\right)\ne 0$

Найдем сначала корни знаменателя (ОДЗ дроби)

$\left(\mathit{х}-4\right)\left(\mathit{х}+4\right)\ne 0$

$\mathit{х}-4\ne 0$ или $\mathit{х}+4\ne 0$

$\mathit{х}\ne 4$ или $\mathit{х}\ne -4$

Найдем корни числителя.

$120\left(\mathit{х}+4\right)-120\left(\mathit{х}-4\right)-4\left(\mathit{х}-4\right)\left(\mathit{х}+4\right)=0$

Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$120\mathit{х}+480-120\mathit{х}+480-4{\mathit{х}}^2+64=0$

$-4{\mathit{х}}^2+1024=0$

$-4{\mathit{х}}^2=-1024$

Разделим обе части уравнения на $\left(-4\right)$

${\mathit{х}}^2=256$

${\mathit{х}}_{1,2}=\pm 16$

Так как за «х» мы брали собственную скорость катера, а она отрицательной быть не может, следовательно, нам подходит только корень $\mathit{х}=16$ км/ч

Ответ: $16$

Пример:

От пристани $\mathit{А}$ к пристани $\mathit{В}$, расстояние между которыми равно $70$ км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через $1$ час после этого следом за ним, со скоростью, на $8$ км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт $\mathit{В}$ оба теплохода прибыли одновременно.

Решение:

Пусть $\mathit{х}$ км/ч- это скорость первого теплохода, тогда $\left(\mathit{х}+8\right)$ км/ч –это скорость второго теплохода.

Составим таблицу, в которой заполним столбцы путь $\mathit{«}\mathit{S}\mathit{»}$ и скорость $\mathit{«}\mathit{v}\mathit{»}$ по условию задачи, а третий столбец время $\mathit{«}\mathit{t}\mathit{»}$ заполним по формуле $\mathit{t}=\frac{\mathit{S}}{\mathit{v}}$

Так как второй теплоход выехал на час позже, то время его в пути на час меньше относительно времени первого теплохода. Составим и решим уравнение: из большего времени отнимаем меньшее время и все это равно разнице времен

$\frac{70}{\mathit{х}}-\frac{70}{\left(\mathit{х}+8\right)}=1$

$\frac{70}{\mathit{х}}-\frac{70}{\left(\mathit{х}+8\right)}-1=0$

Приводим дроби к общему знаменателю

$\frac{70\left(\mathit{х}+8\right)-70\mathit{х}-\mathit{х}\left(\mathit{х}+8\right)}{\mathit{х}\left(\mathit{х}+8\right)}=0$

$\frac{70\mathit{х}+560-70\mathit{х}-{\mathit{х}}^2-8\mathit{х}}{\mathit{х}\left(\mathit{х}+8\right)}=0$

Найдем сначала корни знаменателя(ОДЗ дроби)

$\mathit{х}\left(\mathit{х}+8\right)\ne 0$

$\mathit{х}\ne 0$ или $\mathit{х}+8\ne 0;\mathit{х}\ne -8$

Найдем корни числителя

$70\mathit{х}+560-70\mathit{х}-{\mathit{х}}^2-8\mathit{х}=0$

$-{\mathit{х}}^2-8\mathit{х}+560=0$

${\mathit{х}}^2+8\mathit{х}-560=0$

По т.Виета ${\mathit{х}}_1+{\mathit{х}}_2=-8$

${\mathit{х}}_1\bullet {\mathit{х}}_2=-560$

${\mathit{х}}_1=-28;{\mathit{х}}_2=20$, первый корень нам не подходит, так как он отрицательный, следовательно скорость первого теплохода равна $20$ км/ч.

Ответ: $20$