Текстовые задачи. Задачи на движение
Теория к заданию 9 из ЕГЭ по математике (профиль)
В задачах на движение по прямой часто надо отыскать среднюю скорость транспортного средства.
Средняя скорость – это величина, равная отношению пути, пройденного телом, ко времени, за которое пройден этот путь.
$v_{ср}={S_{общий}}/{t_{общее}}$
Пример:
Первые $140$ км автомобиль ехал со скоростью $70$ км/ч, следующие $220$ км — со скоростью $80$ км/ч, а затем $30$ км — со скоростью $120$ км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Для простоты решения задачи сделаем таблицу.
| $S_1=140км$ | $S_2=220км$ | $S_3=30км$ |
| $v_1=70$км/ч | $v_2=80$км/ч | $v_3=120$км/ч |
| $t_1-?$ | $t_2-?$ | $t_3-?$ |
Получилось три участка пути, про каждый участок мы знаем его путь и скорость, но для расчета средней скорости необходимо знать путь и время каждого участка. Найдем время каждого участка пути, для этого разделим путь на скорость.
$t_1={S_1}/{v_1}={140}/{70}=2$ часа
$t_2={S_2}/{v_2}={220}/{80}=2.75$ часа
$t_3={S_3}/{v_3}={30}/{120}=0.25$ часа
$v_{ср}={S_1+S_2+S_3}/{t_1+t_2+t_3}={140+220+30}/{2+2.75+0.25}={390}/{5}=78$ км/ч
Ответ: $78$ км/ч
Иногда встречаются такие задачи на движение, в которых учитываются размеры транспортного средства. Чаще всего в таких задачах необходимо рассчитать длину поезда, например.
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью $60$ км/ч, проезжает мимо платформы, длина которой равна $200$ метрам, за $3$ минуты. Найдите длину поезда в метрах.
Решение:
Считается, что поезд проедет полностью мимо платформы, если он проедет длину платформы и еще свою длину.
Найдем расстояние, которое поезд проедет за три минуты. Время переведем в секунды и умножим на скорость поезда, которую переведем из км/ч в м/с.
$3$ минуты $=3·60=180$ секунд
$60$ км/ч$={60}/{3.6}={600}/{36}={50}/{3}$ м/с
$S=v·t={50·180}/{3}=3000$ метров
Чтобы найти длину поезда из всего пройденного пути за $3$ минуты вычтем длину платформы:
$l=3000-200=2800$ метров.
Ответ: $2800$
Пример:
Два велосипедиста одновременно отправились в пробег протяжённостью $84$ километра. Первый ехал со скоростью, на $5$ км/ч большей скорости второго, и прибыл к финишу на $5$ часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Пусть $х$ км/ч –скорость второго велосипедиста, тогда $(х+5)$ км/ч – скорость первого велосипедиста.
Создаем стандартную таблицу и столбец $«v»$ заполняем данными с неизвестными.
| $S$(км) | $v$(км) | $t$(ч) | |
| Первый велосипедист | $(x+5)$ | ||
| Второй велосипедист | $x$ |
Так как расстояние, которое проехали велосипедисты одинаково и равно $84$ км, заполняем столбец $«S»$.
| $S$(км) | $v$(км) | $t$(ч) | |
| Первый велосипедист | $84$ | $(x+5)$ | |
| Второй велосипедист | $84$ | $x$ |
Третий столбец заполняем по формуле $t={S}/{v}$.
| $S$(км) | $v$(км) | $t$(ч) | |
| Первый велосипедист | $84$ | $(x+5)$ | ${84}/{(x+5)}$ |
| Второй велосипедист | $84$ | $x$ | ${84}/{x}$ |
Именно содержимое третьего столбца будем использовать для составления уравнения к задаче. По условию задачи разница между временами движения велосипедистов равна $5$ часов. Дольше в пути находился второй велосипедист, следовательно, из большего времени отнимаем меньшее время и все это равно разнице времен.
${84}/{х}-{84}/{(х+5)}=5$
Перенесем все слагаемые в левую сторону уравнения
${84}/{х}-{84}/{(х+5)}-5=0$
Приведем все слагаемые к общему знаменателю $х(х+5)$, тогда к первой дроби дополнительный множитель равен $(х+5)$, ко второй $х$, а к третьему слагаемому $(х^2+5х)$.Получаем:
${84х+420-84х-5х^2-25х}/{х(х+5)}=0$
Далее проговариваем: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$84х+420-84х-5х^2-25х=0; х(х+5)≠0$
Найдем сначала корни знаменателя (ОДЗ дроби)
$х(х+5)≠0$
$х≠0$ или $х+5≠0$
$х≠0$ или $х≠-5$
Найдем корни числителя.
$84х+420-84х-5х^2-25х=0;$
Приведем подобные слагаемые и расставим поставим их в порядке убывания степеней
$-5х^2-25х+420=0$
Разделим уравнение на $(-5)$
$х^2+5х-84=0$
По теореме Виета
$х_1=-12, х_2=7$
$х_1=-12$ нам не подходит, так как отрицательная величина.
$х_2=7$ км/ч – скорость велосипедиста.
Ответ: $7$
Некоторые нюансы в задачах с круговым движением:
- В задачах на движение по окружности желательно делать рисунок, чтобы расставить величины и увидеть взаимосвязь между транспортными средствами.
- Если транспортные средства начали двигаться из одной точки в диаметрально противоположных направлениях, то между ними расстояние равное половине длины окружности.
- Если в задаче сказано, что транспортные средства двигаются в одном направлении, то необходимо узнать их скорость опережения: для этого из большей скорости вычитается меньшая.
- Любую задачу на круговое движение можно представить как задачу на прямолинейном отрезке, мысленно развернув круговую трассу в прямую.
Пример:
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна $18$ км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна $92$ км/ч, и через $45$ минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Сделаем рисунок к задаче, для этого мысленно развернем круговую трассу в прямую.
$S=18$ км
$t=45$мин$={3}/{4}$часа
Пусть $х$ км/ч - скорость второго автомобиля.
Скорость опережения равна разности скоростей.
Тогда скорость опережения равна $v_{опережения}=(92-х)$. Так как первый автомобиль обгонит второй на один круг за $45$ минут, то скорость опережения можно выразить еще одним способом: для этого длину круга надо разделить на время опережения.
Не забываем перевести время из минут в часы $45$минут$={45}/{60}={3}/{4}$часа
$v_{опережения}={S}/{t}={18}/{{3}/{4}}={18·4}/{3}=24$
Так как мы разными записями выразили скорость опережения, то для составления уравнения приравняем обе записи друг к другу.
$92-х=24$
$-х=24-92$
$х=68$ км/ч – скорость второго автомобиля.
Ответ: $68$
Скорость по течению реки равна сумме собственной скорости транспортного средства и скорости течения реки
$v=v_{собственная}+v_{течения реки}$
Чтобы найти скорость против течения, нужно отнять от собственной скорости транспортного средства скорость течения реки
$v=v_{собственная}-v_{течения реки}$
Пример:
Катер прошел против течения реки $120$ км и вернулся обратно, затратив на обратный путь на $4$ часа меньше времени. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки $4$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Для начала необходимо за «х» взять неизвестную. В нашем случае(и чаще всего) за «х» берется скорость.
Пусть $х$ км/ч – собственная скорость катера, тогда $(х+4)$ км/ч – скорость катера по течению; $(х-4)$ км/ч – скорость катера против течения.
Создаем стандартную таблицу и столбец $«v»$ заполняем данными с неизвестными.
| $S$(км) | $v$(км/ч) | $t$(ч) | |
| По течению | $(x+4)$ | ||
| Против течения | $(x-4)$ |
Так как расстояние, которое катер проплыл по течению и против течения одинаково и равно $120$ км, заполняем столбец $«S»$
| $S$(км) | $v$(км/ч) | $t$(ч) | |
| По течению | $120$ | $(x+4)$ | |
| Против течения | $120$ | $(x-4)$ |
Третий столбец заполняем по формуле $t={S}/{v}$
| $S$(км) | $v$(км/ч) | $t$(ч) | |
| По течению | $120$ | $(x+4)$ | ${120}/{(х+4)}$ |
| Против течения | $120$ | $(x-4)$ | ${120}/{(х-4)}$ |
Именно содержимое третьего столбца будем использовать для составления уравнения к задаче. По условию задачи разница между временами движения против течения и по течению равна $4$ часа, следовательно, из большего времени отнимаем меньшее время и все это равно разнице времен.
${120}/{(х-4)}-{120}/{(х+4)}=4$
Решим полученное дробно рациональное уравнение, для этого перенесем все слагаемые в левую часть.
${120}/{(х-4)}-{120}/{(х+4)}-4=0$
Приведем дроби к общему знаменателю $(х-4)(х+4)$, тогда к первой дроби дополнительный множитель равен $(х+4)$, ко второй $(х-4)$, а к третьему слагаемому $(х+4)(х-4)$. Получаем:
${120(х+4)-120(х-4)-4(х-4)(х+4)}/{(х-4)(х+4)}=0$
Далее проговариваем: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$120(х+4)-120(х-4)-4(х-4)(х+4)=0; (х-4)(х+4)≠0$
Найдем сначала корни знаменателя (ОДЗ дроби)
$(х-4)(х+4)≠0$
$х-4≠0$ или $х+4≠0$
$х≠4$ или $х≠-4$
Найдем корни числителя.
$120(х+4)-120(х-4)-4(х-4)(х+4)=0$
Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
$120х+480-120х+480-4х^2+64=0$
$-4х^2+1024=0$
$-4х^2=-1024$
Разделим обе части уравнения на $(-4)$
$х^2=256$
$х_{1,2}=±16$
Так как за «х» мы брали собственную скорость катера, а она отрицательной быть не может, следовательно, нам подходит только корень $х=16$ км/ч
Ответ: $16$
Пример:
От пристани $А$ к пристани $В$, расстояние между которыми равно $70$ км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через $1$ час после этого следом за ним, со скоростью, на $8$ км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт $В$ оба теплохода прибыли одновременно.
Решение:
Пусть $х$ км/ч- это скорость первого теплохода, тогда $(х+8)$ км/ч –это скорость второго теплохода.
Составим таблицу, в которой заполним столбцы путь $«S»$ и скорость $«v»$ по условию задачи, а третий столбец время $«t»$ заполним по формуле $t={S}/{v}$
| $S$(км) | $v$(км/ч) | $t$(ч) | |
| Первый теплоход | $70$ | $x$ | ${70}/{х}$ |
| Второй теплоход | $70$ | $(x+8)$ | ${70}/{(х+8)}$ |
Так как второй теплоход выехал на час позже, то время его в пути на час меньше относительно времени первого теплохода. Составим и решим уравнение: из большего времени отнимаем меньшее время и все это равно разнице времен
${70}/{х}-{70}/{(х+8)}=1$
${70}/{х}-{70}/{(х+8)}-1=0$
Приводим дроби к общему знаменателю
${70(х+8)-70х-х(х+8)}/{х(х+8)}=0$
${70х+560-70х-х^2-8х}/{х(х+8)}=0$
Найдем сначала корни знаменателя(ОДЗ дроби)
$х(х+8)≠0$
$х≠0$ или $х+8≠0; х≠-8$
Найдем корни числителя
$70х+560-70х-х^2-8х=0$
$-х^2-8х+560=0$
$х^2+8х-560=0$
По т.Виета $х_1+х_2=-8$
$х_1∙х_2=-560$
$х_1=-28; х_2=20$, первый корень нам не подходит, так как он отрицательный, следовательно скорость первого теплохода равна $20$ км/ч.
Ответ: $20$
