Текстовые задачи. Проценты, совместная работа

Пример:

Первый рабочий изготавливает $200$ деталей за время, которое второй рабочий потратит на изготовление $180$ таких же деталей. Найдите производительность первого рабочего, если он изготавливает в минуту на $2$ детали больше, чем второй?

Решение:

Пусть $\mathit{х}$ деталей/мин - производительность второго рабочего, тогда $\left(\mathit{х}+2\right)$ деталей/мин - производительность первого рабочего.

Создаем стандартную таблицу и столбец «Производительность»(р) заполняем данными с неизвестными.

Так как первый рабочий изготовил $200$ деталей - это его выполненная работа, у второго рабочего работа равна $180$ деталей.

Третий столбец заполняем по формуле $\mathit{t}=\frac{\mathit{A}}{\mathit{p}}$.

Именно содержимое третьего столбца будем использовать для составления уравнения к задаче. По условию задачи время на выполнение работы рабочие затратили одинаковое. Поэтому содержимое третьего столбца приравняем друг к другу.

$\frac{200}{\left(\mathit{x}+2\right)}=\frac{180}{\mathit{x}}$

Решим полученное уравнение по свойству пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции.

$180\left(\mathit{х}+2\right)=200\mathit{х}$

Разделим обе части уравнения на $20$

$9\left(\mathit{х}+2\right)=10\mathit{х}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые

$9\mathit{х}+18=10\mathit{х}$

$\mathit{х}=18$ (деталей в минуту)- производительность второго рабочего.

$\left(\mathit{х}+2\right)=18+2=20$ (деталей в минуту)- производительность первого рабочего.

Ответ: $20$

Пример:

В помощь садовому насосу, перекачивающему $6$ литров воды за $4$ минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объём воды за $2$ минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать $27$ литров воды?

Решение:

Найдем производительность первого насоса. Работа (А) первого насоса – $6$ литров, время работы $\mathit{t}=4$ минуты.

${\mathit{р}}_1=\frac{\mathit{A}}{\mathit{t}}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$ (литров/минуту)

Найдем производительность второго насоса. Второй насос выполняет тот же объем работы, т.е перекачивает $6$ литров воды. Время работы второго насоса $\mathit{t}=2$ минуты.

${\mathit{р}}_2=\frac{\mathit{A}}{\mathit{t}}=\frac{6}{2}=3$(литров/минуту)

Найдем совместную производительность

${\mathit{р}}_{\mathit{с}\mathit{о}\mathit{в}\mathit{м}\mathit{е}\mathit{с}\mathit{т}\mathit{н}\mathit{а}\mathit{я}}={\mathit{р}}_1+{\mathit{р}}_2=\frac{3}{2}+3=\frac{3+6}{2}=\frac{9}{2}$ (литров/минуту)

Чтобы найти время, за которое оба насоса перекачивают $27$ литров воды, надо всю работу, т.е. $27$ литров разделить на совместную производительность

$\mathit{t}=\frac{\mathit{A}}{\mathit{p}}=\frac{27}{\frac{9}{2}}=\frac{27·2}{9}=6$ минут.

Ответ: $6$

Пример:

Зимняя куртка стоит $4500$ рублей. Сезонная скидка составляет $20\%$. Сколько надо заплатить за куртку с учетом скидки.

Решение:

Найдем, сколько процентов будет стоить куртка, после скидки: $100\%-20\%=80\%$

Посчитаем, сколько составляет 80% от 4500 рублей. Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на $100$ и умножить на величину процента.

$\frac{4500·80}{100}=3600$ рублей- это цена куртки, после скидки.

Ответ: $3600$