Текстовые задачи. Смеси и сплавы, прогрессии
Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.
$а_1$ - первый член арифметической прогрессии
$d$ - разность между последующим и текущим членом прогрессии
$d=a_{n+1}-a_n$
$a_n$ - член арифметической прогрессии, стоящий на $n$-ом месте
$n$ - номер места для членов арифметической прогрессии
$S_n$ - сумма первых n членов арифметической прогрессии
Формула для нахождения $n$-ого члена прогрессии:
$a_n=a_1+d(n-1)$
Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:
$S_n={(a_1+a_n)·n}/{2}$
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.
$b_1$ - первый член геометрической прогрессии
$q$ - знаменатель геометрической прогрессии, показывает во сколько раз последующее число больше предыдущего.
$q={b_{n+1}}/{b_n}$
$b_n$ - $n$-ый член геометрической прогрессии
$S_n$ - сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии
Формула, для нахождения $n$-ого члена прогрессии:
$b_n=b_1·q^{n-1}$
Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n={b_1·(q^n-1)}/{q-1},q≠1$
В задачах на прогрессии важно:
- Определить тип прогрессии
- Верно сопоставить приведенные величины с их обозначением в формулах, записать дано.
- Подставить известные данные в формулу и вывести неизвестную величину.
Пример:
Предприниматель Петров получил в $2000$ году прибыль в размере $5000$ рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на $300%$ по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Петров за 2003 год?
Решение:
Для начала посчитаем увеличение прибыли: так как она увеличивалась на $300%$, то $100%+300%=400%$. $400%$ - это то же самое, что увеличение прибыли в $4$ раза.
Данная задача на геометрическую прогрессию, так как прибыль увеличивалась В четыре раза по сравнению с предыдущим годом.
Запишем дано: $b_1=5000$ - первая прибыль
$q=4$ - величина, показывающая, во сколько раз увеличивалась прибыль каждый год
$n=4$, так как с $2000$ по $2003$ прошло $4$ года (т.к. 2000 - 1й год, 2001 - 2й, 2002 - 3й, 2003 -4й)
$b_4-?$ - количество заработанных денег в четвертый год от начала прибыли
Запишем формулу для нахождения $n$-ого члена прогрессии:
$b_n=b_1·q^{n-1}$
Подставим известные величины из дано и найдем $b_4$:
$b_4=5000·4^3=320000$
Ответ: $320000$
Задачи на смеси и сплавы.
В задачах на растворы и сплавы для удобства решения можно делать схему, для каждого раствора в схеме необходимо записать две величины:
- Массу или объем, в зависимости от условия задачи;
- Процентное содержание чистого вещества в растворе.
Потом, если мы смешиваем составы, для смешанного вещества тоже записываем:
- Массу или объем полученной смеси – она равна сумме масс или объемов изначальных растворов.
- Процентное содержание чистого вещества в полученной смеси.
Далее составляем уравнение, для этого надо процентное содержание чистого вещества умножить на массу своего раствора, сложить получившиеся величины каждого раствора и все это приравнять к полученной величине смеси.
$m_{1 раствора}·%_{1 вещества}+m_{2 раствора}·%_{2 вещества}=m_{смеси}·%_{смеси}$
Пример:
Смешали $2$ кг $15%$-ного водного раствора некоторого вещества с $8$ кг $10%$-ного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение:
Пусть $х%$ - концентрация получившегося раствора.
Составим к задаче схему.
| $1$ раствор Масса - $2$кг Процентное содержание вещества - $15%$ |
$2$ раствор Масса - $8$кг Процентное содержание вещества - $10%$ |
| Смесь растворов Масса – $2$кг$+8$кг$=10$кг Процентное содержание вещества - $х%$ |
|
Составим уравнение:
$15%·2+10%·8=х%·10$ Уберем в уравнении знак процента, чтобы он не мешал при расчетах
$15·2+10·8=10·х$
$30+80=10х$
$10х=110$
$х=11%$ - концентрация получившегося раствора.
Ответ: $11$
