Стереометрия. Параллелепипед. Пирамида. Призма

Свойства куба:

1. В кубе $6$ граней и все они являются квадратами.

2. Противоположные грани попарно параллельны.

3. Все двугранные углы куба – прямые.

4. Диагонали равны.

5. Куб имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

6. Диагональ куба в $√3$ раз больше его ребра

$B_1D=AB√3$

7. Диагональ грани куба в $√2$ раза больше длины ребра.

$DC_1=DC√2$

Пусть $а-$длина ребра куба, $d-$диагональ куба, тогда справедливы формулы:

Объем куба: $V=a^3={d^3}/{3√3}$.

Площадь полной поверхности: $S_{п.п}=6а^2=2d^2$

Радиус сферы, описанной около куба: $R={a√3}/{2}$

Радиус сферы, вписанной в куб: $r={a}/{2}$

При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.

При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

$B_1D^2=AD^2+DC^2+C_1C^2$

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$а$-длина;

$b$-ширина;

$с$-высота(она же боковое ребро);

$P_{осн}$-периметр основания;

$S_{осн}$-площадь основания;

$S_{п.п}$-площадь полной поверхности;

$V$-объем.

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

$S_{п.п}=2(ab+bc+ac)$.

Пирамида

$SO$ - высота.

Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.

$h_a$ - высота боковой грани (апофема)

$S_{бок}={P_{осн}·h_a}/{2}$

$S_{п.п}=S_{бок}+S_{осн}$

$V={1}/{3}S_{осн}·h$

В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:

1. Для равностороннего треугольника $S={a^{2}√3}/{4}$, где $а$ - длина стороны.
2. Квадрат $S=a^2$, где $а$ - сторона квадрата.

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

1. Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2. Найти объем каждого параллелепипеда.
3. Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

- Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

- Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его основаниями являются прямоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, а боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1$ и $DD_1$ перпендикулярны к основаниям.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

1. В прямоугольном параллелепипеде $6$ граней и все они являются прямоугольниками.
2. Противоположные грани попарно равны и параллельны.
3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
5. Прямоугольный параллелепипед имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
7. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

$B_1D^2=AD^2+DC^2+C_1C^2$

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$а$ - длина;

$b$ - ширина;

$с$ - высота(она же боковое ребро);

$P_{осн}$ - периметр основания;

$S_{осн}$ - площадь основания;

$S_{бок}$ - площадь боковой поверхности;

$S_{п.п}$ - площадь полной поверхности;

$V$ - объем.

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

$S_{бок}=P_{осн}·c=2(a+b)·c$ – площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро.

$S_{п.п}=2(ab+bc+ac).$

Дополнительные сведения, которые пригодятся для решения задач:

Куб

$а$ - длина стороны.

$V=a^3;$

$S_{бок}=4а^2;$

$S_{п.п}=6а^2;$

$d=a√3$ – диагональ равна длине стороны, умноженной на $√3$.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) - треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Объем любой пирамиды равен трети произведения основания и высоты.

$V={1}/{3}S_{осн}·h$

В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

Площадь треугольника.

• $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ - высота, проведенная к стороне $а$.
• $S={a·b·sin⁡α}/{2}$, где $a,b$ - соседние стороны, $α$ - угол между этими соседними сторонами.
• Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ - это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$.
• $S=p·r$, где $r$ - радиус вписанной окружности.
• $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ - радиус описанной окружности.
• Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ - катеты прямоугольного треугольника.
• Для равностороннего треугольника $S={a^2√3}/{4}$, где $а$ - длина стороны.

В основании лежит четырехугольник.

1. Прямоугольник.
   $S=a·b$, где $а$ и $b$ - смежные стороны.
2. Ромб.
   $S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба.
   $S=a^2·sin⁡α$, где $а$ - длина стороны ромба, а $α$ - угол между соседними сторонами.
3. Трапеция.
   $S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ - основания трапеции, $h$ - высота трапеции.
4. Квадрат.
   $S=a^2$, где $а$ - сторона квадрата.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Призма

$С_1Н$ - высота

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$P_{осн}$ - периметр основания;

$S_{осн}$ - площадь основания;

$S_{бок}$ - площадь боковой поверхности;

$S_{п.п}$ - площадь полной поверхности;

$h$ - высота призмы.

$S_{бок}=P_{осн}·h$

$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}$

$V=S_{осн}·h$

В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

1. $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ - высота, проведенная к стороне $а$
2. $S={a·b·sin⁡α}/{2}$, где $a,b$ - соседние стороны, $α$ - угол между этими соседними сторонами.
3. Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ - это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$
4. $S=p·r$, где $r$ - радиус вписанной окружности
5. $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ - радиус описанной окружности
6. Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ - катеты прямоугольного треугольника.

В основании лежит четырехугольник

1. Прямоугольник

$S=a·b$, где $а$ и $b$ - смежные стороны.

2. Ромб

$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ - длина стороны ромба, а $α$ - угол между соседними сторонами.

3. Трапеция

$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ - основания трапеции, $h$ - высота трапеции.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.

Рассмотрим площади правильных многоугольников:

1. Для равностороннего треугольника $S={a^2√3}/{4}$, где $а$ - длина стороны.

2. Квадрат

$S=a^2$, где $а$ - сторона квадрата.

3. Правильный шестиугольник

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

$S=6·S_{треугольника}={6·a^2√3}/{4}={3·a^2√3}/{2}$, где $а$ - сторона правильного шестиугольника.

Цилиндр - это та же призма, в основании которой лежит круг.

$S_{бок}=P_{осн}·h=2πRh$

$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}=2πRh+2πR^2=2πR(h+R)$

$V=S_{осн}·h=πR^2 h$

Подобные призмы: при увеличении всех линейных размеров призмы в $k$ раз, её объём увеличится в $k^3$ раз.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

$MN$ - средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

$MN {//} AC, MN = {AC}/{2}$

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ - коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$AC^2+BC^2=AB^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ - противолежащий катет; $ВС$ - прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ - противолежащий катет; $АС$ - прилежащий катет.

1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

${a}/{sinα}={b}/{sinβ}={c}/{sinγ}=2R$, где $R$ - радиус описанной около треугольника окружности.

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosα;$

$b^2=a^2+c^2-2·a·c·cos⁡β;$

$c^2=b^2+a^2-2·b·a·cosγ.$

Пирамида

Связь между сторонами правильного n-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей :

$АВ=an$ - сторона правильного многоугольника

$R$ - радиус описанной окружности

$r$ - радиус вписанной окружности

$n$ - количество сторон и углов

$a_n=2·R·sin {180°}/{n};$

$r=R·cos{180°}/{n};$

$a_n=2·r·tg{180°}/{n}.$

В зависимости от многоугольника, лежащего в основании, пирамиды могут быть треугольными, четырехугольными и т.д.

У треугольной пирамиды есть еще одно название – тетраэдр (четырехгранник).

Формулы вычисления объема и площади поверхности произвольной пирамиды.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$P_{осн}$ -периметр основания;

$S_{осн}$ - площадь основания;

$S_{бок}$ - площадь боковой поверхности;

$S_{п.п}$ - площадь полной поверхности;

$V$ - объем.

В произвольной пирамиде боковые грани могут быть разными треугольниками, поэтому площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней, найденных по отдельности.

$S_{бок}=∑↖{n}S_{бок.граней}$

$S_{п.п}=S_{бок}+S_{осн}$

$V={1}/{3} S_{осн}·h$

В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник

Площадь треугольника

1. $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ - высота, проведенная к стороне $а$
2. $S={a·b·sin⁡α}/{2}$, где $a,b$ - соседние стороны, $α$ - угол между этими соседними сторонами.
3. Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ - это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$
4. $S=p·r$, где $r$ - радиус вписанной окружности
5. $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ - радиус описанной окружности
6. Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ - катеты прямоугольного треугольника.

В основании лежит четырехугольник

Прямоугольник

$S=a·b$, где $а$ и $b$ - смежные стороны.

Ромб

$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ - длина стороны ромба, а $α$ - угол между соседними сторонами.

Трапеция

$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ - основания трапеции, $h$ - высота трапеции.

Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а ее высота приходит в центр основания (в центр описанной окружности). Все боковые ребра правильной пирамиды равны, следовательно, все боковые грани являются равнобедренными треугольниками.

Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.

$h_a$- высота боковой грани (апофема)

$S_{бок}={P_осн·h_a}/{2}$

$S_{п.п}=S_{бок}+S_{осн}$

$V={1}/{3} S_{осн}·h$

В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:

1. Для равностороннего треугольника $S={a^2 √3}/{4}$, где $а$ - длина стороны.
2. Квадрат $S=a^2$, где $а$ - сторона квадрата.
3. Правильный шестиугольник

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

$S=6·S_{треугольника}={6·a^2 √3}/{4}={3·a^2 √3}/{2}$, где $а$ - сторона правильного шестиугольника.

Подобные пирамиды: при увеличении всех линейных размеров пирамиды в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$AC^2+BC^2=AB^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ - противолежащий катет; $ВС$ - прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ - противолежащий катет; $АС$ - прилежащий катет.

1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

Многогранники

В данной теме мы рассмотрим составные многогранники (многогранники, состоящие обычно из нескольких параллелепипедов).

Объемы различных многогранников:

• Призма $V=S_{осн}·h$
• Пирамида $V={1}/{3}S_{осн}·h$
• Параллелепипед $V=a·b·c$, где $a, b$ и $c$ - длина, ширина и высота.
• Куб $V=а^3$, где $а$ - сторона куба

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

• Первый способ.

1. Составной многогранник надо достроить до полного параллелепипеда или куба.
2. Найти объем параллелепипеда.
3. Найти объем лишней части фигуры.
4. Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

• Второй способ

1. Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2. Найти объем каждого параллелепипеда.
3. Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

- Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

- Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.

В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.

Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:

Для острого угла $В: АС$ - противолежащий катет; $ВС$ - прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ - противолежащий катет; $АС$ - прилежащий катет.

1. Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Начни онлайн-курс ЕГЭ по математике (профиль) прямо сейчас

Приложение Android

Начать подготовку

Начать подготовку

×

Покупка доступа для групп

Если вы хотите приобрести доступ на Экзамер для группы из 10 и более учеников, мы будем рады сделать вам скидку.
Пожалуйста, расскажите нам подробности:

Доступ до 1 июля 2024 2025 г.

Необходимо заполнить все поля, кроме телефона

Отмена Отправить