Стереометрия. Параллелепипед. Пирамида. Призма

Свойства куба:

1. В кубе $6$ граней и все они являются квадратами.

2. Противоположные грани попарно параллельны.

3. Все двугранные углы куба – прямые.

4. Диагонали равны.

5. Куб имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

6. Диагональ куба в $\sqrt{3}$ раз больше его ребра

${\mathit{B}}_1\mathit{D}=\mathit{A}\mathit{B}\sqrt{3}$

7. Диагональ грани куба в $\sqrt{2}$ раза больше длины ребра.

$\mathit{D}{\mathit{C}}_1=\mathit{D}\mathit{C}\sqrt{2}$

Пусть $\mathit{а}-$длина ребра куба, $\mathit{d}-$диагональ куба, тогда справедливы формулы:

Объем куба: $\mathit{V}={\mathit{a}}^3=\frac{{\mathit{d}}^3}{3\sqrt{3}}$.

Площадь полной поверхности: ${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}=6{\mathit{а}}^2=2{\mathit{d}}^2$

Радиус сферы, описанной около куба: $\mathit{R}=\frac{\mathit{a}\sqrt{3}}{2}$

Радиус сферы, вписанной в куб: $\mathit{r}=\frac{\mathit{a}}{2}$

При увеличении всех линейных размеров куба в $\mathit{k}$ раз, его объём увеличится в ${\mathit{k}}^3$ раз.

При увеличении всех линейных размеров куба в $\mathit{k}$ раз, площадь его поверхности увеличится в ${\mathit{k}}^2$ раз.

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

${\mathit{B}}_1{\mathit{D}}^2=\mathit{A}{\mathit{D}}^2+\mathit{D}{\mathit{C}}^2+{\mathit{C}}_1{\mathit{C}}^2$

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$\mathit{а}$-длина;

$\mathit{b}$-ширина;

$\mathit{с}$-высота(она же боковое ребро);

${\mathit{P}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$-периметр основания;

${\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$-площадь основания;

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}$-площадь полной поверхности;

$\mathit{V}$-объем.

$\mathit{V}=\mathit{a}·\mathit{b}·\mathit{c}$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}=2\left(\mathit{a}\mathit{b}+\mathit{b}\mathit{c}+\mathit{a}\mathit{c}\right)$.

Пирамида

$\mathit{S}\mathit{O}$ - высота.

Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.

${\mathit{h}}_{\mathit{a}}$ - высота боковой грани (апофема)

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}=\frac{{\mathit{P}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·{\mathit{h}}_{\mathit{a}}}{2}$

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}={\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}+{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$

$\mathit{V}=\frac{1}{3}{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}$

В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:

1. Для равностороннего треугольника $\mathit{S}=\frac{{\mathit{a}}^2\sqrt{3}}{4}$, где $\mathit{а}$ - длина стороны.
2. Квадрат $\mathit{S}={\mathit{a}}^2$, где $\mathit{а}$ - сторона квадрата.

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

1. Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2. Найти объем каждого параллелепипеда.
3. Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

- Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

${\mathit{S}}_{\mathit{п}\mathit{о}\mathit{л}\mathit{н}.\mathit{п}\mathit{о}\mathit{в}.}={\mathit{P}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}+2{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

- Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$. Его основаниями являются прямоугольники $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ и ${\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$, а боковые ребра $\mathit{A}{\mathit{A}}_1,\mathit{B}{\mathit{B}}_1,\mathit{C}{\mathit{C}}_1$ и $\mathit{D}{\mathit{D}}_1$ перпендикулярны к основаниям.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

1. В прямоугольном параллелепипеде $6$ граней и все они являются прямоугольниками.
2. Противоположные грани попарно равны и параллельны.
3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
5. Прямоугольный параллелепипед имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
7. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

${\mathit{B}}_1{\mathit{D}}^2=\mathit{A}{\mathit{D}}^2+\mathit{D}{\mathit{C}}^2+{\mathit{C}}_1{\mathit{C}}^2$

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$\mathit{а}$ - длина;

$\mathit{b}$ - ширина;

$\mathit{с}$ - высота(она же боковое ребро);

${\mathit{P}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$ - периметр основания;

${\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$ - площадь основания;

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}$ - площадь боковой поверхности;

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}$ - площадь полной поверхности;

$\mathit{V}$ - объем.

$\mathit{V}=\mathit{a}·\mathit{b}·\mathit{c}$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}={\mathit{P}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{c}=2\left(\mathit{a}+\mathit{b}\right)·\mathit{c}$ – площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро.

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}=2\left(\mathit{a}\mathit{b}+\mathit{b}\mathit{c}+\mathit{a}\mathit{c}\right).$

Дополнительные сведения, которые пригодятся для решения задач:

Куб

$\mathit{а}$ - длина стороны.

$\mathit{V}={\mathit{a}}^3;$

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}=4{\mathit{а}}^2;$

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}=6{\mathit{а}}^2;$

$\mathit{d}=\mathit{a}\sqrt{3}$ – диагональ равна длине стороны, умноженной на $\sqrt{3}$.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) - треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($\mathit{h}$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Объем любой пирамиды равен трети произведения основания и высоты.

$\mathit{V}=\frac{1}{3}{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}$

В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

Площадь треугольника.

• $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·{\mathit{h}}_{\mathit{a}}}{2}$, где ${\mathit{h}}_{\mathit{a}}$ - высота, проведенная к стороне $\mathit{а}$.
• $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·\mathit{b}·\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\alpha }}{2}$, где $\mathit{a},\mathit{b}$ - соседние стороны, $\mathit{\alpha }$ - угол между этими соседними сторонами.
• Формула Герона $\mathit{S}=\sqrt{\mathit{p}\left(\mathit{p}-\mathit{a}\right)\left(\mathit{p}-\mathit{b}\right)\left(\mathit{p}-\mathit{c}\right)}$, где $\mathit{р}$ - это полупериметр $\mathit{p}=\frac{\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}}{2}$.
• $\mathit{S}=\mathit{p}·\mathit{r}$, где $\mathit{r}$ - радиус вписанной окружности.
• $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·\mathit{b}·\mathit{c}}{4\mathit{R}}$, где $\mathit{R}$ - радиус описанной окружности.
• Для прямоугольного треугольника $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·\mathit{b}}{2}$, где $\mathit{а}$ и $\mathit{b}$ - катеты прямоугольного треугольника.
• Для равностороннего треугольника $\mathit{S}=\frac{{\mathit{a}}^2\sqrt{3}}{4}$, где $\mathit{а}$ - длина стороны.

В основании лежит четырехугольник.

1. Прямоугольник.
   $\mathit{S}=\mathit{a}·\mathit{b}$, где $\mathit{а}$ и $\mathit{b}$ - смежные стороны.
2. Ромб.
   $\mathit{S}=\frac{{\mathit{d}}_1·{\mathit{d}}_2}{2}$, где ${\mathit{d}}_1$ и ${\mathit{d}}_2$ - диагонали ромба.
   $\mathit{S}={\mathit{a}}^2·\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\alpha }$, где $\mathit{а}$ - длина стороны ромба, а $\mathit{\alpha }$ - угол между соседними сторонами.
3. Трапеция.
   $\mathit{S}=\frac{\left(\mathit{a}+\mathit{b}\right)·\mathit{h}}{2}$, где $\mathit{а}$ и $\mathit{b}$ - основания трапеции, $\mathit{h}$ - высота трапеции.
4. Квадрат.
   $\mathit{S}={\mathit{a}}^2$, где $\mathit{а}$ - сторона квадрата.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$\mathit{А}{\mathit{С}}^2+\mathit{В}{\mathit{С}}^2=\mathit{А}{\mathit{В}}^2$

Призма

${\mathit{С}}_1\mathit{Н}$ - высота

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

${\mathit{P}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$ - периметр основания;

${\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$ - площадь основания;

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}$ - площадь боковой поверхности;

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}$ - площадь полной поверхности;

$\mathit{h}$ - высота призмы.

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}={\mathit{P}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}$

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}={\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}+2{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$

$\mathit{V}={\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}$

В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

1. $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·{\mathit{h}}_{\mathit{a}}}{2}$, где ${\mathit{h}}_{\mathit{a}}$ - высота, проведенная к стороне $\mathit{а}$
2. $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·\mathit{b}·\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\alpha }}{2}$, где $\mathit{a},\mathit{b}$ - соседние стороны, $\mathit{\alpha }$ - угол между этими соседними сторонами.
3. Формула Герона $\mathit{S}=\sqrt{\mathit{p}\left(\mathit{p}-\mathit{a}\right)\left(\mathit{p}-\mathit{b}\right)\left(\mathit{p}-\mathit{c}\right)}$, где $\mathit{р}$ - это полупериметр $\mathit{p}=\frac{\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}}{2}$
4. $\mathit{S}=\mathit{p}·\mathit{r}$, где $\mathit{r}$ - радиус вписанной окружности
5. $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·\mathit{b}·\mathit{c}}{4\mathit{R}}$, где $\mathit{R}$ - радиус описанной окружности
6. Для прямоугольного треугольника $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·\mathit{b}}{2}$, где $\mathit{а}$ и $\mathit{b}$ - катеты прямоугольного треугольника.

В основании лежит четырехугольник

1. Прямоугольник

$\mathit{S}=\mathit{a}·\mathit{b}$, где $\mathit{а}$ и $\mathit{b}$ - смежные стороны.

2. Ромб

$\mathit{S}=\frac{{\mathit{d}}_1·{\mathit{d}}_2}{2}$, где ${\mathit{d}}_1$ и ${\mathit{d}}_2$ - диагонали ромба

$\mathit{S}={\mathit{a}}^2·\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\alpha }$, где $\mathit{а}$ - длина стороны ромба, а $\mathit{\alpha }$ - угол между соседними сторонами.

3. Трапеция

$\mathit{S}=\frac{\left(\mathit{a}+\mathit{b}\right)·\mathit{h}}{2}$, где $\mathit{а}$ и $\mathit{b}$ - основания трапеции, $\mathit{h}$ - высота трапеции.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.

Рассмотрим площади правильных многоугольников:

1. Для равностороннего треугольника $\mathit{S}=\frac{{\mathit{a}}^2\sqrt{3}}{4}$, где $\mathit{а}$ - длина стороны.

2. Квадрат

$\mathit{S}={\mathit{a}}^2$, где $\mathit{а}$ - сторона квадрата.

3. Правильный шестиугольник

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

$\mathit{S}=6·{\mathit{S}}_{\mathit{т}\mathit{р}\mathit{е}\mathit{у}\mathit{г}\mathit{о}\mathit{л}\mathit{ь}\mathit{н}\mathit{и}\mathit{к}\mathit{а}}=\frac{6·{\mathit{a}}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3·{\mathit{a}}^2\sqrt{3}}{2}$, где $\mathit{а}$ - сторона правильного шестиугольника.

Цилиндр - это та же призма, в основании которой лежит круг.

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}={\mathit{P}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}=2\mathit{\pi }\mathit{R}\mathit{h}$

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}={\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}+2{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}=2\mathit{\pi }\mathit{R}\mathit{h}+2\mathit{\pi }{\mathit{R}}^2=2\mathit{\pi }\mathit{R}\left(\mathit{h}+\mathit{R}\right)$

$\mathit{V}={\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}=\mathit{\pi }{\mathit{R}}^2\mathit{h}$

Подобные призмы: при увеличении всех линейных размеров призмы в $\mathit{k}$ раз, её объём увеличится в ${\mathit{k}}^3$ раз.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

$\mathit{M}\mathit{N}$ - средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

$\mathit{M}\mathit{N}//\mathit{A}\mathit{C},\mathit{M}\mathit{N}=\frac{\mathit{A}\mathit{C}}{2}$

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $\mathit{k}$ - коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $\mathit{k}$.
2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$\mathit{A}{\mathit{C}}^2+\mathit{B}{\mathit{C}}^2=\mathit{A}{\mathit{B}}^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $\mathit{А}\mathit{В}\mathit{С}$, с прямым углом $\mathit{С}$

Для острого угла $\mathit{В}:\mathit{А}\mathit{С}$ - противолежащий катет; $\mathit{В}\mathit{С}$ - прилежащий катет.

Для острого угла $\mathit{А}:\mathit{В}\mathit{С}$ - противолежащий катет; $\mathit{А}\mathit{С}$ - прилежащий катет.

1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

$\frac{\mathit{a}}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\alpha }}=\frac{\mathit{b}}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\beta }}=\frac{\mathit{c}}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\gamma }}=2\mathit{R}$, где $\mathit{R}$ - радиус описанной около треугольника окружности.

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

${\mathit{a}}^2={\mathit{b}}^2+{\mathit{c}}^2-2·\mathit{b}·\mathit{c}·\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{\alpha };$

${\mathit{b}}^2={\mathit{a}}^2+{\mathit{c}}^2-2·\mathit{a}·\mathit{c}·\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{\beta };$

${\mathit{c}}^2={\mathit{b}}^2+{\mathit{a}}^2-2·\mathit{b}·\mathit{a}·\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{\gamma }.$

Пирамида

Связь между сторонами правильного n-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей :

$\mathit{А}\mathit{В}=\mathit{a}\mathit{n}$ - сторона правильного многоугольника

$\mathit{R}$ - радиус описанной окружности

$\mathit{r}$ - радиус вписанной окружности

$\mathit{n}$ - количество сторон и углов

${\mathit{a}}_{\mathit{n}}=2·\mathit{R}·\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\frac{180°}{\mathit{n}};$

$\mathit{r}=\mathit{R}·\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\frac{180°}{\mathit{n}};$

${\mathit{a}}_{\mathit{n}}=2·\mathit{r}·\mathit{t}\mathit{g}\frac{180°}{\mathit{n}}.$

В зависимости от многоугольника, лежащего в основании, пирамиды могут быть треугольными, четырехугольными и т.д.

У треугольной пирамиды есть еще одно название – тетраэдр (четырехгранник).

Формулы вычисления объема и площади поверхности произвольной пирамиды.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

${\mathit{P}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$ -периметр основания;

${\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$ - площадь основания;

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}$ - площадь боковой поверхности;

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}$ - площадь полной поверхности;

$\mathit{V}$ - объем.

В произвольной пирамиде боковые грани могут быть разными треугольниками, поэтому площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней, найденных по отдельности.

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}=\sum ^{\mathit{n}}{\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}.\mathit{г}\mathit{р}\mathit{а}\mathit{н}\mathit{е}\mathit{й}}$

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}={\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}+{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$

$\mathit{V}=\frac{1}{3}{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}$

В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник

Площадь треугольника

1. $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·{\mathit{h}}_{\mathit{a}}}{2}$, где ${\mathit{h}}_{\mathit{a}}$ - высота, проведенная к стороне $\mathit{а}$
2. $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·\mathit{b}·\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\alpha }}{2}$, где $\mathit{a},\mathit{b}$ - соседние стороны, $\mathit{\alpha }$ - угол между этими соседними сторонами.
3. Формула Герона $\mathit{S}=\sqrt{\mathit{p}\left(\mathit{p}-\mathit{a}\right)\left(\mathit{p}-\mathit{b}\right)\left(\mathit{p}-\mathit{c}\right)}$, где $\mathit{р}$ - это полупериметр $\mathit{p}=\frac{\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}}{2}$
4. $\mathit{S}=\mathit{p}·\mathit{r}$, где $\mathit{r}$ - радиус вписанной окружности
5. $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·\mathit{b}·\mathit{c}}{4\mathit{R}}$, где $\mathit{R}$ - радиус описанной окружности
6. Для прямоугольного треугольника $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·\mathit{b}}{2}$, где $\mathit{а}$ и $\mathit{b}$ - катеты прямоугольного треугольника.

В основании лежит четырехугольник

Прямоугольник

$\mathit{S}=\mathit{a}·\mathit{b}$, где $\mathit{а}$ и $\mathit{b}$ - смежные стороны.

Ромб

$\mathit{S}=\frac{{\mathit{d}}_1·{\mathit{d}}_2}{2}$, где ${\mathit{d}}_1$ и ${\mathit{d}}_2$ - диагонали ромба

$\mathit{S}={\mathit{a}}^2·\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\alpha }$, где $\mathit{а}$ - длина стороны ромба, а $\mathit{\alpha }$ - угол между соседними сторонами.

Трапеция

$\mathit{S}=\frac{\left(\mathit{a}+\mathit{b}\right)·\mathit{h}}{2}$, где $\mathit{а}$ и $\mathit{b}$ - основания трапеции, $\mathit{h}$ - высота трапеции.

Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а ее высота приходит в центр основания (в центр описанной окружности). Все боковые ребра правильной пирамиды равны, следовательно, все боковые грани являются равнобедренными треугольниками.

Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.

${\mathit{h}}_{\mathit{a}}$- высота боковой грани (апофема)

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}=\frac{{\mathit{P}}_{\mathit{о}}\mathit{с}\mathit{н}·{\mathit{h}}_{\mathit{a}}}{2}$

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}={\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}+{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$

$\mathit{V}=\frac{1}{3}{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}$

В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:

1. Для равностороннего треугольника $\mathit{S}=\frac{{\mathit{a}}^2\sqrt{3}}{4}$, где $\mathit{а}$ - длина стороны.
2. Квадрат $\mathit{S}={\mathit{a}}^2$, где $\mathit{а}$ - сторона квадрата.
3. Правильный шестиугольник

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

$\mathit{S}=6·{\mathit{S}}_{\mathit{т}\mathit{р}\mathit{е}\mathit{у}\mathit{г}\mathit{о}\mathit{л}\mathit{ь}\mathit{н}\mathit{и}\mathit{к}\mathit{а}}=\frac{6·{\mathit{a}}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3·{\mathit{a}}^2\sqrt{3}}{2}$, где $\mathit{а}$ - сторона правильного шестиугольника.

Подобные пирамиды: при увеличении всех линейных размеров пирамиды в $\mathit{k}$ раз, его объём увеличится в ${\mathit{k}}^3$ раз.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$\mathit{A}{\mathit{C}}^2+\mathit{B}{\mathit{C}}^2=\mathit{A}{\mathit{B}}^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $\mathit{А}\mathit{В}\mathit{С}$, с прямым углом $\mathit{С}$

Для острого угла $\mathit{В}:\mathit{А}\mathit{С}$ - противолежащий катет; $\mathit{В}\mathit{С}$ - прилежащий катет.

Для острого угла $\mathit{А}:\mathit{В}\mathit{С}$ - противолежащий катет; $\mathit{А}\mathit{С}$ - прилежащий катет.

1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

Многогранники

В данной теме мы рассмотрим составные многогранники (многогранники, состоящие обычно из нескольких параллелепипедов).

Объемы различных многогранников:

• Призма $\mathit{V}={\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}$
• Пирамида $\mathit{V}=\frac{1}{3}{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}$
• Параллелепипед $\mathit{V}=\mathit{a}·\mathit{b}·\mathit{c}$, где $\mathit{a},\mathit{b}$ и $\mathit{c}$ - длина, ширина и высота.
• Куб $\mathit{V}={\mathit{а}}^3$, где $\mathit{а}$ - сторона куба

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

• Первый способ.

1. Составной многогранник надо достроить до полного параллелепипеда или куба.
2. Найти объем параллелепипеда.
3. Найти объем лишней части фигуры.
4. Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

• Второй способ

1. Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2. Найти объем каждого параллелепипеда.
3. Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

- Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

${\mathit{S}}_{\mathit{п}\mathit{о}\mathit{л}\mathit{н}.\mathit{п}\mathit{о}\mathit{в}.}={\mathit{P}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}+2{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

- Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.

В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$\mathit{А}{\mathit{С}}^2+\mathit{В}{\mathit{С}}^2=\mathit{А}{\mathit{В}}^2$

Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.

Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $\mathit{А}\mathit{В}\mathit{С}$, с прямым углом $\mathit{С}$:

Для острого угла $\mathit{В}:\mathit{А}\mathit{С}$ - противолежащий катет; $\mathit{В}\mathit{С}$ - прилежащий катет.

Для острого угла $\mathit{А}:\mathit{В}\mathit{С}$ - противолежащий катет; $\mathit{А}\mathit{С}$ - прилежащий катет.

1. Синусом ($\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом ($\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом ($\mathit{t}\mathit{g}$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Начни онлайн-курс ЕГЭ по математике (профиль) прямо сейчас

Приложение Android

Начать подготовку

Начать подготовку

×

Покупка доступа для групп

Если вы хотите приобрести доступ на Экзамер для группы из 10 и более учеников, мы будем рады сделать вам скидку.
Пожалуйста, расскажите нам подробности:

Доступ до 1 июля 2025 г.

Необходимо заполнить все поля, кроме телефона

Отмена Отправить