Задачи с прикладным содержанием

Из формулы $\mathit{h}=\mathit{v}\mathit{t}-\frac{\mathit{g}{\mathit{t}}^2}{2}$ выразить $\mathit{v}$

Решение:

Поменяем части уравнения местами, так, чтобы неизвестная была с левой стороны

$\mathit{v}\mathit{t}-\frac{\mathit{g}{\mathit{t}}^2}{2}=\mathit{h}$

Далее избавим ее от известных величин, для этого перенесем $\frac{\mathit{g}{\mathit{t}}^2}{2}$ как известное слагаемое в правую сторону. При переносе через знак равно, знак слагаемого меняется на противоположный.

$\mathit{v}\mathit{t}=\mathit{h}+\frac{\mathit{g}{\mathit{t}}^2}{2}$

Неизвестной мешает только $\mathit{t}$. Так как $\mathit{t}$ умножается на неизвестную, делаем противоположное математическое действие: делим всю правую часть на $\mathit{t}$.

$\mathit{v}=\frac{\mathit{h}+\frac{\mathit{g}{\mathit{t}}^2}{2}}{\mathit{t}}$.

Неизвестная величина осталась одна с левой стороны в равенстве, следовательно, мы ее выразили.

Пример:

При температуре 0℃ рельс имеет длину ${\mathit{l}}_0=14\mathit{м}$. При увеличении температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $\mathit{l}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{l}}_0\left(1+\mathit{\alpha }\mathit{t}\right)$, где $\mathit{\alpha }=1.2·{10}^{-5}\left({\mathit{℃}}^{-1}\right)$ - коэффициент теплового расширения, $\mathit{t}$ - температура в градусах Цельсия. При какой температуре рельс удлинится на $2.1$ мм? Ответ выразите в градусах.

Решение:

Чтобы упорядочить приведенные величины, запишем их в дано:

Дано: ${\mathit{l}}_0=14$м

${\mathit{t}}_0=0\mathit{℃}$

$∆\mathit{l}=2.1$мм$=0.0021$м

$\mathit{\alpha }=1.2·{10}^{-5}\left({\mathit{℃}}^{-1}\right)$

$\mathit{t}-?$

В дано сразу видим, что начальная длинна и разность длин $\left(∆\mathit{l}\right)$ имеют разные единицы измерения. Необходимо миллиметры перевести в метры, для этого число надо поделить на тысячу.

$2.1\mathit{м}\mathit{м}=0.0021\mathit{м}$

Далее запишем формулу

$\mathit{l}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{l}}_0\left(1+\mathit{\alpha }\mathit{t}\right)$ и выразим из нее температуру $\left(\mathit{t}\right)$.

Для этого необходимо раскрыть скобки

$\mathit{l}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{l}}_0+{\mathit{l}}_0\mathit{\alpha }\mathit{t}$

Поменяем части уравнения местами, так, чтобы неизвестная величина оказалась в левой части (так привычнее для решения)

${\mathit{l}}_0+{\mathit{l}}_0\mathit{\alpha }\mathit{t}=\mathit{l}\left(\mathit{t}\right)$

Перенесем ${\mathit{l}}_0$ в правую часть уравнения, так как это известная величина, при переносе через равно меняем знак на противоположный.

${\mathit{l}}_0\mathit{\alpha }\mathit{t}=\mathit{l}\left(\mathit{t}\right)-{\mathit{l}}_0$, где $\mathit{l}\left(\mathit{t}\right)-{\mathit{l}}_0=∆\mathit{l}$

${\mathit{l}}_0\mathit{\alpha }\mathit{t}=∆\mathit{l}$

Чтобы выразить t надо правую часть уравнения поделить на ${\mathit{l}}_0\mathit{\alpha }$

$\mathit{t}=\frac{∆\mathit{l}}{{\mathit{l}}_0\mathit{\alpha }}$

Теперь подставим числовые значения в выраженную формулу

$\mathit{t}=\frac{∆\mathit{l}}{{\mathit{l}}_0\mathit{\alpha }}=\frac{0.0021}{14·1.2·{10}^{-5}}$

Домножим дробь на $100000$, чтобы числа было легче считать

$\mathit{t}=\frac{∆\mathit{l}}{{\mathit{l}}_0\mathit{\alpha }}=\frac{0.0021}{14·1.2·{10}^{-5}}=\frac{210}{14·1.2}=12.5\mathit{℃}$

Ответ: $12.5$

Пример:

Автомобиль, движущийся с начальной скоростью ${\mathit{v}}_0=20$м/с, начал торможение с постоянным ускорением $\mathit{а}=5$м/с. За $\mathit{t}$ секунд после начала торможения он прошел путь $\mathit{S}={\mathit{v}}_0\mathit{t}-\frac{\mathit{a}{\mathit{t}}^2}{2}$(м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал $30$м. Ответ дайте в секундах.

Решение:

Запишем дано: ${\mathit{v}}_0=20$м/с

$\mathit{а}=5$м/с

$\mathit{S}=30$м

$\mathit{t}-?$

Запишем формулу $\mathit{S}={\mathit{v}}_0\mathit{t}-\frac{\mathit{a}{\mathit{t}}^2}{2}$. Из формулы видно, что неизвестная у нас встречается несколько раз. В таких случаях проще сразу заменить буквы на их числовые значения

$30=20\mathit{t}-\frac{5{\mathit{t}}^2}{2}$

Получили квадратное уравнение, теперь его немного упростим: для этого перенесем все слагаемые в левую часть и домножим уравнение на $\frac{2}{5}$, чтобы получить целочисленные коэффициенты.

${\mathit{t}}^2-8\mathit{t}+12=0$

По теореме Виета

${\mathit{t}}_1+{\mathit{t}}_2=8$

${\mathit{t}}_1·{\mathit{t}}_2=12$

Нам подходят ${\mathit{t}}_1=6$ и ${\mathit{t}}_2=2$

Из двух вариантов выбираем $\mathit{t}=2$, так как этого времени достаточно, чтобы автомобиль полностью остановился.

Ответ: $2$

Пример:

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением $\mathit{T}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{T}}_0+\mathit{b}\mathit{t}+\mathit{a}{\mathit{t}}^2$, где $\mathit{t}$ – время в минутах, ${\mathit{T}}_0=1400\mathit{К}$, $\mathit{a}=-10$К/мин, $\mathit{b}=200$К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше $1760$К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

Решение:

Записываем дано: ${\mathit{T}}_0=1400$К

$\mathit{a}=-10$К/мин

$\mathit{b}=200$К/мин

$\mathit{T}\left(\mathit{t}\right)\le 1760$K (Так как свыше этой температуры прибор сгорит).

$\mathit{t}-?$

$\mathit{T}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{T}}_0+\mathit{b}\mathit{t}+\mathit{a}{\mathit{t}}^2$

Так как $\mathit{T}\left(\mathit{t}\right)\le 1760$K, то и выражение ${\mathit{T}}_0+\mathit{b}\mathit{t}+\mathit{a}{\mathit{t}}^2\le 1760$K

Подставим числовые значения и получим квадратное неравенство

$1400+200\mathit{t}-10{\mathit{t}}^2\le 1760$

В квадратном неравенстве необходимо все значения перенести в левую сторону и расставить слагаемые в порядке убывания степеней у неизвестного

$-10{\mathit{t}}^2+200\mathit{t}+1400-1760\le 0$

$-10{\mathit{t}}^2+200\mathit{t}-360\le 0$

Разделим все неравенство на $\left(-10\right)$. Важно помнить, что при делении или умножении неравенства на отрицательное значение, знак неравенства меняется на противоположный.

${\mathit{t}}^2-20\mathit{t}+36\ge 0$

Решим данное неравенство методом интервалов: для этого надо найти корни выражения и разложить его на множители.

${\mathit{t}}^2-20\mathit{t}+36=0$

${\mathit{t}}_1=2$

${\mathit{t}}_2=18$

$\left(\mathit{t}-2\right)\left(\mathit{t}-18\right)\ge 0$

Расставим корни на числовой оси.

Определим знак правой крайней области, для этого в разложенное уравнение вместо t надо подставить число, которое больше корней.

$\left(100-2\right)\left(100-18\right)$ результат будет положительным числом, следовательно, в крайней правой области на числовой ось знак плюс, а далее знаки чередуются.

Решение неравенства $\left(-\mathit{\infty };2\right]\cup \left[8;+\mathit{\infty }\right)$

Через $2$ минуты после включения прибор нагреется до $1760$К, и при дальнейшем нагревании может испортиться. Таким образом, прибор нужно выключить через $2$ минуты.

Ответ: $2$