Задачи с прикладным содержанием
Теория к заданию 8 из ЕГЭ по математике (профиль)
Задачи с физическим смыслом содержат физические и математические формулы, в которых необходимо отыскать неизвестную величину.
Основные правила выражения неизвестной из формул:
- Все величины, кроме искомой, считаются известными данными.
- Для выражения неизвестной величины пользуемся теми же правилами, что и в математике при решении уравнений.
- Надо добиться того, чтобы неизвестная величина оказалась одна с левой стороны равенства, например:
Из формулы $h=vt-{gt^2}/{2}$ выразить $v$
Решение:
Поменяем части уравнения местами, так, чтобы неизвестная была с левой стороны
$vt-{gt^2}/{2}=h$
Далее избавим ее от известных величин, для этого перенесем ${gt^2}/{2}$ как известное слагаемое в правую сторону. При переносе через знак равно, знак слагаемого меняется на противоположный.
$vt=h+{gt^2}/{2}$
Неизвестной мешает только $t$. Так как $t$ умножается на неизвестную, делаем противоположное математическое действие: делим всю правую часть на $t$.
$v={h+{gt^2}/{2}}/{t}$.
Неизвестная величина осталась одна с левой стороны в равенстве, следовательно, мы ее выразили.
Полезным будет вспомнить единицы измерения физических величин их взаимосвязь:
Длины.
$мм⇄↙{·10}↖{:10}см⇄↙{·10}↖{:10}дм⇄↙{·10}↖{:10}м⇄↙{·1000}↖{:1000}км$
Массы.
$гр⇄↙{·1000}↖{:1000}кг⇄↙{·100}↖{:100}центнер⇄↙{·10}↖{:10}тонна$
Площади.
$мм^2⇄↙{·10}↖{:10}см^2⇄↙{·10}↖{:10}дм^2⇄↙{·100}↖{:100}м^2⇄↙{·1000000}↖{:1000000}км^2$
Чтобы перейти из км/ч в м/с необходимо величину разделить на $3.6$.
Пример:
При температуре 0℃ рельс имеет длину $l_0=14м$. При увеличении температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $l(t)=l_0(1+αt)$, где $α=1.2·10^{-5}(℃^{-1})$ - коэффициент теплового расширения, $t$ - температура в градусах Цельсия. При какой температуре рельс удлинится на $2.1$ мм? Ответ выразите в градусах.
Решение:
Чтобы упорядочить приведенные величины, запишем их в дано:
Дано: $l_0=14$м
$t_0=0℃$
$∆l=2.1$мм$=0.0021$м
$α=1.2·10^{-5}(℃^{-1})$
$t-?$
В дано сразу видим, что начальная длинна и разность длин $(∆l)$ имеют разные единицы измерения. Необходимо миллиметры перевести в метры, для этого число надо поделить на тысячу.
$2.1мм =0.0021м$
Далее запишем формулу
$l(t)=l_0(1+αt)$ и выразим из нее температуру $(t)$.
Для этого необходимо раскрыть скобки
$l(t)=l_0+l_{0}αt$
Поменяем части уравнения местами, так, чтобы неизвестная величина оказалась в левой части (так привычнее для решения)
$l_0+l_{0}αt=l(t)$
Перенесем $l_0$ в правую часть уравнения, так как это известная величина, при переносе через равно меняем знак на противоположный.
$l_{0}αt=l(t)-l_0$, где $l(t)-l_0=∆l$
$l_{0}αt=∆l$
Чтобы выразить t надо правую часть уравнения поделить на $l_{0}α$
$t={∆l}/{l_{0}α}$
Теперь подставим числовые значения в выраженную формулу
$t={∆l}/{l_{0}α}={0.0021}/{14·1.2·10^{-5}}$
Домножим дробь на $100000$, чтобы числа было легче считать
$t={∆l}/{l_{0}α}={0.0021}/{14·1.2·10^{-5}}={210}/{14·1.2}=12.5℃$
Ответ: $12.5$
Для успешного решения задач можно не выражать неизвестную величину из буквенной формулы, а сразу подставить в буквенную формулу все соответствующие числовые значения и найти неизвестную величину. Чтобы облегчить решение задач, лучше упорядочить приведенную информацию: записать в дано все известные величины с их единицами измерения и численными значениями. Проверить единицы измерения. Записать отдельно формулу. Все задачи далее можно разделить на:
- Сводящиеся к уравнениям (линейным, квадратным, иррациональным, рациональным, логарифмическим, тригонометрическим).
- Сводящиеся к неравенствам (линейным, квадратным, иррациональным, рациональным, логарифмическим).
Пример:
Автомобиль, движущийся с начальной скоростью $v_0=20$м/с, начал торможение с постоянным ускорением $а=5$м/с. За $t$ секунд после начала торможения он прошел путь $S=v_{0}t-{at^2}/{2}$(м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал $30$м. Ответ дайте в секундах.
Решение:
Запишем дано: $v_0=20$м/с
$а=5$м/с
$S=30$м
$t-?$
Запишем формулу $S=v_{0}t-{at^2}/{2}$. Из формулы видно, что неизвестная у нас встречается несколько раз. В таких случаях проще сразу заменить буквы на их числовые значения
$30=20t-{5t^2}/{2}$
Получили квадратное уравнение, теперь его немного упростим: для этого перенесем все слагаемые в левую часть и домножим уравнение на ${2}/{5}$, чтобы получить целочисленные коэффициенты.
$t^2-8t+12=0$
По теореме Виета
$t_1+t_2=8$
$t_1·t_2=12$
Нам подходят $t_1=6$ и $t_2=2$
Из двух вариантов выбираем $t=2$, так как этого времени достаточно, чтобы автомобиль полностью остановился.
Ответ: $2$
Теперь разберем задачи, в которых получаются неравенства. Для решения таких задач так же кратко записываем дано и формулу. В дальнейшем подставляем известные данные в формулу и оцениваем, какое получается неравенство. В большинстве случаев получаются квадратные или линейные неравенства.
Пример:
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением $T(t)=T_0+bt+at^2$, где $t$ – время в минутах, $T_0=1400К$, $a=-10$К/мин, $b=200$К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше $1760$К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.
Решение:
Записываем дано: $T_0=1400$К
$a=-10$К/мин
$b=200$К/мин
$T(t)≤1760$K (Так как свыше этой температуры прибор сгорит).
$t-?$
$T(t)=T_0+bt+at^2$
Так как $T(t)≤1760$K, то и выражение $T_0+bt+at^2≤1760$K
Подставим числовые значения и получим квадратное неравенство
$1400+200t-10t^2≤1760$
В квадратном неравенстве необходимо все значения перенести в левую сторону и расставить слагаемые в порядке убывания степеней у неизвестного
$-10t^2+200t+1400-1760≤0$
$-10t^2+200t-360≤0$
Разделим все неравенство на $(-10)$. Важно помнить, что при делении или умножении неравенства на отрицательное значение, знак неравенства меняется на противоположный.
$t^2-20t+36≥0$
Решим данное неравенство методом интервалов: для этого надо найти корни выражения и разложить его на множители.
$t^2-20t+36=0$
$t_1=2$
$t_2=18$
$(t-2)(t-18)≥0$
Расставим корни на числовой оси.
Определим знак правой крайней области, для этого в разложенное уравнение вместо t надо подставить число, которое больше корней.
$(100-2)(100-18)$ результат будет положительным числом, следовательно, в крайней правой области на числовой ось знак плюс, а далее знаки чередуются.
Решение неравенства $(-∞;2]∪[8;+∞)$
Через $2$ минуты после включения прибор нагреется до $1760$К, и при дальнейшем нагревании может испортиться. Таким образом, прибор нужно выключить через $2$ минуты.
Ответ: $2$
