Цилиндр, конус, шар

Цилиндр, конус, шар

Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, на рисунке образующая $\mathit{L}$.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны основаниям. Осевое сечение цилиндра - это прямоугольник, у которого одна сторона равна диаметру основания, а вторая – высоте цилиндра.

Основные понятия и свойства цилиндра:

1. Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях.
2. Все образующие цилиндра параллельны и равны.
3. Радиусом цилиндра называется радиус его основания ($\mathit{R}$).
4. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований (в прямом цилиндре высота равна образующей).
5. Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры оснований ($\mathit{О}{\mathit{О}}_1$).
6. Если радиус или диаметр цилиндра увеличить в n раз, то объем цилиндра увеличится в ${\mathit{n}}^2$ раз.
7. Если высоту цилиндра увеличить в m раз, то объем цилиндра увеличится в то же количество раз.
8. Если призму вписать в цилиндр, то ее основаниями будут являться равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра, а боковые ребра - образующими цилиндра.
9. Если цилиндр вписан в призму, то ее основания - равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости граней призмы касаются боковой поверхности цилиндра.
10. Если в цилиндр вписана сфера, то радиус сферы равен радиусу цилиндра и равен половине высоты цилиндра.

${\mathit{R}}_{\mathit{с}\mathit{ф}\mathit{е}\mathit{р}\mathit{ы}}={\mathit{R}}_{\mathit{ц}\mathit{и}\mathit{л}\mathit{и}\mathit{н}\mathit{д}\mathit{р}\mathit{а}}=\frac{{\mathit{h}}_{\mathit{ц}\mathit{и}\mathit{л}\mathit{и}\mathit{н}\mathit{д}\mathit{р}\mathit{а}}}{2}$

Площадь поверхности и объем цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}.\mathit{п}\mathit{о}\mathit{в}.}=2\mathit{\pi }\mathit{R}·\mathit{h}$

Площадь поверхности цилиндра равна сумме двух площадей оснований и площади боковой поверхности.

${\mathit{S}}_{\mathit{п}\mathit{о}\mathit{л}\mathit{н}\mathit{о}\mathit{й}.\mathit{п}\mathit{о}\mathit{в}.}=2\mathit{\pi }{\mathit{R}}^2+2\mathit{\pi }\mathit{R}·\mathit{h}=2\mathit{\pi }\mathit{R}\left(\mathit{R}+\mathit{h}\right)$

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

$\mathit{V}=\mathit{\pi }{\mathit{R}}^2·\mathit{h}$

Объем части цилиндра, в основании которого лежит сектор: $\mathit{V}=\frac{\mathit{\pi }{\mathit{R}}^2·\mathit{n}°·\mathit{h}}{360}$, где $\mathit{n}°$ - это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими и обозначаются (l).

$\mathit{l}=\mathit{S}\mathit{A}$

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. Ось прямого конуса и его высота равны.

$\mathit{S}\mathit{О}$ - высота и ось конуса.

Свойства конуса:

1. Все образующие конуса равны.
2. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого равно двум радиусам, а боковые стороны равны образующим конуса.
3. Если боковая поверхность конуса – полукруг, то осевым сечением является равносторонний треугольник, угол при вершине равен $60°$.
4. Если радиус или диаметр конуса увеличить в n раз, то его объем увеличится в ${\mathit{n}}^2$ раз.
5. Если высоту конуса увеличить в m раз, то объем конуса увеличится в то же количество раз.

Площадь поверхности и объем конуса.

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}.\mathit{п}\mathit{о}\mathit{в}.}=\mathit{\pi }\mathit{R}·\mathit{l}$

Площадь поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.

${\mathit{S}}_{\mathit{п}\mathit{о}\mathit{л}\mathit{н}\mathit{о}\mathit{й}.\mathit{п}\mathit{о}\mathit{в}.}=\mathit{\pi }{\mathit{R}}^2+\mathit{\pi }\mathit{R}·\mathit{l}=\mathit{\pi }\mathit{R}\left(\mathit{R}+\mathit{l}\right)$

Объем конуса равен трети произведения площади основания на высоту.

$\mathit{V}=\frac{\mathit{\pi }{\mathit{R}}^2·\mathit{h}}{3}$

Объем части конуса, в основании которого лежит сектор: $\mathit{V}=\frac{\mathit{\pi }{\mathit{R}}^2·\mathit{n}°·\mathit{h}}{360·3}$, где $\mathit{n}°$ - это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Осевое сечение шара это круг, радиус которого равен радиусу шара. Осевым сечением является самый большой круг шара.

Площадь поверхности сферы: ${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}=4\mathit{\pi }·{\mathit{R}}^2=\mathit{\pi }·{\mathit{d}}^2$, где $\mathit{R}$ - радиус сферы, $\mathit{d}$ - диаметр сферы

Объем шара: $\mathit{V}=\frac{4\mathit{\pi }·{\mathit{R}}^3}{3}=\frac{\mathit{\pi }·{\mathit{d}}^3}{6}$, где $\mathit{R}$ - радиус шара, $\mathit{d}$ - диаметр шара.

Если радиус или диаметр шара увеличить в n раз, то площадь поверхности увеличится в ${\mathit{n}}^2$ раз, а объем в ${\mathit{n}}^3$ раз.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$\mathit{А}{\mathit{С}}^2+\mathit{В}{\mathit{С}}^2=\mathit{А}{\mathit{В}}^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $\mathit{А}\mathit{В}\mathit{С}$, с прямым углом $\mathit{С}$:

Для острого угла $\mathit{В}:\mathit{А}\mathit{С}$ - противолежащий катет; $\mathit{В}\mathit{С}$ - прилежащий катет.

Для острого угла $\mathit{А}:\mathit{В}\mathit{С}$ - противолежащий катет; $\mathit{А}\mathit{С}$ - прилежащий катет.

1. Синусом ($\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом ($\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом ($\mathit{t}\mathit{g}$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Признаки подобия треугольников:

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $\mathit{k}$. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.