ЕГЭ по математике (профиль) 2025
/
Теория по математике (профиль)
/
Теория по теме «Тригонометрия. Основные тождества и формулы приведения»
/

Тригонометрия. Основные тождества и формулы приведения

Разбор сложных заданий в тг-канале:

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$ , где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

$1$ радиан $={180}/{π}≈57$ градусов

$1$ градус $={π}/{180}$ радиан

Значения тригонометрических функций некоторых углов

$α$	$0$	${π}/{6}$	${π}/{4}$	${π}/{3}$	${π}/{2}$	$π$
$s i n α$	$0$	${1}/{2}$	${√2}/{2}$	${√3}/{2}$	$1$	$0$
$c o s α$	$1$	${√3}/{2}$	${√2}/{2}$	${1}/{2}$	$0$	$-1$
$t g α$	$0$	${√3}/{3}$	$1$	$√3$	$-$	$0$
$c t g α$	$-$	$√3$	$1$	${√3}/{3}$	$0$	$-$

Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$ , у тангенса и котангенса $π$

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:

если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ( $π$ и $2π$ ), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ( ${π}/{2}$ и ${3π}/{2}$ ), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
чтобы определить знак в правой части формулы ( $+$ или $-$ ), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Преобразовать $сos(90° + α)$ . Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$ , поэтому $c o s$ измениться на $s i n$ .

$сos(90° + α)=sinα$

Чтобы определить знак перед $s i n α$ , предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому, перед $s i n α$ нужен знак $-$ .

$сos(90° + α)= - sinα$ - это конечный результат преобразования

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= - sin t; tg(-t)= - tg t; ctg(-t)= - ctg t$

Тригонометрические тождества

$tgα={sinα}/{cosα}$
$ctgα={cosα}/{sinα}$
$sin^2α+cos^2α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

$sinα=±√{1-cos^2α}$

$cosα=±√{1-sin^2α}$

$tgα·ctgα=1$
$1+tg^2α={1}/{cos^2α}$
$1+ctg^2α={1}/{sin^2α}$

Вычислить $s i n t$ , если $cos t = {5}/{13} ; t ∈({3π}/{2};2π)$

Найдем $s i n t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈({3π}/{2};2π)$ -это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус

$sin⁡t=-√{1-cos^2t}=-√{1-{25}/{169}}=-√{{144}/{169}}=-{12}/{13}$

Практика: решай 6 задание и тренировочные варианты ЕГЭ по математике (профиль)

<< Цилинд, конус, шар

Планиметрия, часть С >>

Составим твой персональный план подготовки к ЕГЭ

Хочу!

Тригонометрия. Основные тождества и формулы приведения

Четность тригонометрических функций

Тригонометрические тождества

Составим твой персональный план подготовки к ЕГЭ

Начни онлайн-курс ЕГЭ по математике (профиль) прямо сейчас