Планиметрия, часть С

Планиметрия

Подобие треугольников

Число $\mathit{k}$ - коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $\mathit{k}$.
2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Признаки подобия треугольников:

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Площади фигур

Площадь треугольника

1. $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·{\mathit{h}}_{\mathit{a}}}{2}$, где ${\mathit{h}}_{\mathit{a}}$ - высота, проведенная к стороне $\mathit{а}$
2. $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·\mathit{b}·\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\alpha }}{2}$, где $\mathit{a},\mathit{b}$ - соседние стороны, $\mathit{\alpha }$ - угол между этими соседними сторонами.
3. Формула Герона $\mathit{S}=\sqrt{\mathit{p}\left(\mathit{p}-\mathit{a}\right)\left(\mathit{p}-\mathit{b}\right)\left(\mathit{p}-\mathit{c}\right)}$, где $\mathit{р}$ - это полупериметр $\mathit{p}=\frac{\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}}{2}$
4. $\mathit{S}=\mathit{p}·\mathit{r}$, где $\mathit{r}$ - радиус вписанной окружности
5. $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·\mathit{b}·\mathit{c}}{4\mathit{R}}$, где $\mathit{R}$ - радиус описанной окружности
6. Для прямоугольного треугольника $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·\mathit{b}}{2}$, где $\mathit{а}$ и $\mathit{b}$ - катеты прямоугольного треугольника.
7. Для равностороннего треугольника $\mathit{S}=\frac{{\mathit{a}}^2\sqrt{3}}{4}$, где $\mathit{а}$ - длина стороны.

Площади четырехугольников

Прямоугольник

$\mathit{S}=\mathit{a}·\mathit{b}$, где $\mathit{а}$ и $\mathit{b}$ - смежные стороны.

Ромб

$\mathit{S}=\frac{{\mathit{d}}_1·{\mathit{d}}_2}{2}$, где ${\mathit{d}}_1$ и ${\mathit{d}}_2$ - диагонали ромба

$\mathit{S}={\mathit{a}}^2·\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\alpha }$, где $\mathit{а}$ - длина стороны ромба, а $\mathit{\alpha }$ - угол между соседними сторонами.

Трапеция

$\mathit{S}=\frac{\left(\mathit{a}+\mathit{b}\right)·\mathit{h}}{2}$, где $\mathit{а}$ и $\mathit{b}$ - основания трапеции, $\mathit{h}$ - высота трапеции.

Квадрат

$\mathit{S}={\mathit{a}}^2$, где $\mathit{а}$ - сторона квадрата.

Параллелограмм

$\mathit{S}=\mathit{a}·\mathit{b}·\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\alpha }$, где $\mathit{а}$ и $\mathit{b}$ - длины сторон параллелограмма, а $\mathit{\alpha }$ - угол между этими сторонами.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $\mathit{С}$ и высотой $\mathit{С}\mathit{D}$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

$\mathit{C}{\mathit{D}}^2=\mathit{D}\mathit{B}·\mathit{A}\mathit{D}$

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

$\mathit{C}{\mathit{B}}^2=\mathit{A}\mathit{B}·\mathit{D}\mathit{B}$

$\mathit{A}{\mathit{C}}^2=\mathit{A}\mathit{B}·\mathit{A}\mathit{D}$

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

$\mathit{A}\mathit{C}·\mathit{C}\mathit{B}=\mathit{A}\mathit{B}·\mathit{C}\mathit{D}$

Метрические соотношения в окружности

1. Две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.

2. Если хорды $\mathit{А}\mathit{С}$ и $\mathit{B}\mathit{D}$ пересекаются в некоторой точке $\mathit{N}$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

$\mathit{A}\mathit{N}·\mathit{N}\mathit{C}=\mathit{B}\mathit{N}·\mathit{N}\mathit{D}$

3. Если из одной точки к одной окружности проведены две секущие, то произведение первой секущей на ее внешнюю часть равно произведению второй секущей на свою внешнюю часть.

$\mathit{А}\mathit{С}·\mathit{В}\mathit{С}=\mathit{E}\mathit{C}·\mathit{D}\mathit{C}$

4. Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату длины касательной.

$\mathit{B}\mathit{D}·\mathit{С}\mathit{B}=\mathit{A}{\mathit{B}}^2$

Вписанные и описанные окружности для четырехугольников.

1. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

$\mathit{А}\mathit{В}+\mathit{C}\mathit{D}=\mathit{B}\mathit{C}+\mathit{A}\mathit{D}$

2. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180°$, то только тогда около него можно описать окружность.

$\angle \mathit{В}+\angle \mathit{D}=180°$

$\angle \mathit{A}+\angle \mathit{C}=180°$

Вневписанные окружности

Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, центрами вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника.

Точки ${\mathit{О}}_1,{\mathit{О}}_2$ и ${\mathit{О}}_3$ – центры вневписанных окружностей.

Связь площади треугольника с радиусами вневписанных окружностей.

Введем обозначения:

$\mathit{S}$ - площадь треугольника;

$\mathit{p}$ - полупериметр треугольника;

$\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c}$ - стороны треугольника;

${\mathit{r}}_{\mathit{a}},{\mathit{r}}_{\mathit{b}},{\mathit{r}}_{\mathit{c}}$ - радиусы вневписанных окружностей касающиеся соответственно сторон $\mathit{a},\mathit{b}$ и $\mathit{c}$;

Для данных обозначений справедливы равенства:

${\mathit{r}}_{\mathit{a}}=\frac{\mathit{S}}{\mathit{p}-\mathit{a}};$

${\mathit{r}}_{\mathit{b}}=\frac{\mathit{S}}{\mathit{p}-\mathit{b}};$

${\mathit{r}}_{\mathit{c}}=\frac{\mathit{S}}{\mathit{p}-\mathit{c}}.$

Биссектриса

Свойства биссектрисы:

1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.

2. Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.

$\mathit{A}\mathit{D}=\mathit{D}\mathit{C}$

3. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.

4. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает равнобедренный треугольник.

5. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

6. В треугольнике биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, отношение которых такое же, как отношение сторон треугольника, между которыми эта биссектриса прошла.

$\frac{\mathit{A}\mathit{B}}{\mathit{A}\mathit{C}}=\frac{\mathit{B}{\mathit{A}}_1}{{\mathit{A}}_1\mathit{C}}$

7. Для нахождения длины биссектрисы справедлива формула:

$\mathit{А}{\mathit{А}}_1=\sqrt{\mathit{А}\mathit{В}·\mathit{А}\mathit{С}-\mathit{В}{\mathit{А}}_1·{\mathit{А}}_1\mathit{С}}$

Медиана

Свойства медиан:

1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. на два треугольника, у которых площади равны.

${\mathit{S}}_1={\mathit{S}}_2$

2. Медианы пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении два к одному, считая от вершины.

3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и радиусу описанной около этого треугольника окружности.

4. Для нахождения длины медианы, проведенной к стороне «с», справедлива формула:

${\mathit{М}}_{\mathit{с}}=\frac{\sqrt{2\left({\mathit{а}}^2+{\mathit{b}}^2\right)-{\mathit{c}}^2}}{2}$

Высота

Высота в треугольнике - это линия, проведенная из вершины треугольника к противоположной стороне под углом в 90 градусов.

$\mathit{B}{\mathit{B}}_1$ - высота

Свойства высот:

1. Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

2. При пересечении двух высот получаются подобные треугольники:

$∆\mathit{А}{\mathit{А}}_1\mathit{В}~∆\mathit{С}{\mathit{С}}_1\mathit{В};$

$∆\mathit{А}{\mathit{С}}_1\mathit{М}~∆\mathit{С}\mathit{М}\mathit{А}1$

3. Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.

4. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

${\mathit{h}}_{\mathit{a}}:{\mathit{h}}_{\mathit{b}}:{\mathit{h}}_{\mathit{c}}=\frac{1}{\mathit{a}}:\frac{1}{\mathit{b}}:\frac{1}{\mathit{c}}$

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

$\frac{\mathit{a}}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\alpha }}=\frac{\mathit{b}}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\beta }}=\frac{\mathit{c}}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\gamma }}=2\mathit{R}$, где $\mathit{R}$ - радиус описанной около треугольника окружности.

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

${\mathit{a}}^2={\mathit{b}}^2+{\mathit{c}}^2-2·\mathit{b}·\mathit{c}·\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{\alpha }.$