Многогранники

Многогранники

В данной теме мы рассмотрим составные многогранники (многогранники, состоящие обычно из нескольких параллелепипедов).

Объемы различных многогранников:

• Призма $\mathit{V}={\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}$
• Пирамида $\mathit{V}=\frac{1}{3}{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}$
• Параллелепипед $\mathit{V}=\mathit{a}·\mathit{b}·\mathit{c}$, где $\mathit{a},\mathit{b}$ и $\mathit{c}$ - длина, ширина и высота.
• Куб $\mathit{V}={\mathit{а}}^3$, где $\mathit{а}$ - сторона куба

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

• Первый способ.

1. Составной многогранник надо достроить до полного параллелепипеда или куба.
2. Найти объем параллелепипеда.
3. Найти объем лишней части фигуры.
4. Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

• Второй способ

1. Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2. Найти объем каждого параллелепипеда.
3. Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

- Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

${\mathit{S}}_{\mathit{п}\mathit{о}\mathit{л}\mathit{н}.\mathit{п}\mathit{о}\mathit{в}.}={\mathit{P}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}+2{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

- Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.

В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$\mathit{А}{\mathit{С}}^2+\mathit{В}{\mathit{С}}^2=\mathit{А}{\mathit{В}}^2$

Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.

Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $\mathit{А}\mathit{В}\mathit{С}$, с прямым углом $\mathit{С}$:

Для острого угла $\mathit{В}:\mathit{А}\mathit{С}$ - противолежащий катет; $\mathit{В}\mathit{С}$ - прилежащий катет.

Для острого угла $\mathit{А}:\mathit{В}\mathit{С}$ - противолежащий катет; $\mathit{А}\mathit{С}$ - прилежащий катет.

1. Синусом ($\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом ($\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом ($\mathit{t}\mathit{g}$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Задачи на рассмотрение подобия фигур.

При увеличении всех линейных размеров многогранника в $\mathit{k}$ раз, площадь его поверхности увеличится в ${\mathit{k}}^2$ раз.

При увеличении всех линейных размеров многогранника в $\mathit{k}$ раз, его объём увеличится в ${\mathit{k}}^3$ раз.