Призма

Призма

${\mathit{С}}_1\mathit{Н}$ - высота

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

${\mathit{P}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$ - периметр основания;

${\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$ - площадь основания;

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}$ - площадь боковой поверхности;

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}$ - площадь полной поверхности;

$\mathit{h}$ - высота призмы.

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}={\mathit{P}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}$

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}={\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}+2{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$

$\mathit{V}={\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}$

В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

1. $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·{\mathit{h}}_{\mathit{a}}}{2}$, где ${\mathit{h}}_{\mathit{a}}$ - высота, проведенная к стороне $\mathit{а}$
2. $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·\mathit{b}·\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\alpha }}{2}$, где $\mathit{a},\mathit{b}$ - соседние стороны, $\mathit{\alpha }$ - угол между этими соседними сторонами.
3. Формула Герона $\mathit{S}=\sqrt{\mathit{p}\left(\mathit{p}-\mathit{a}\right)\left(\mathit{p}-\mathit{b}\right)\left(\mathit{p}-\mathit{c}\right)}$, где $\mathit{р}$ - это полупериметр $\mathit{p}=\frac{\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}}{2}$
4. $\mathit{S}=\mathit{p}·\mathit{r}$, где $\mathit{r}$ - радиус вписанной окружности
5. $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·\mathit{b}·\mathit{c}}{4\mathit{R}}$, где $\mathit{R}$ - радиус описанной окружности
6. Для прямоугольного треугольника $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·\mathit{b}}{2}$, где $\mathit{а}$ и $\mathit{b}$ - катеты прямоугольного треугольника.

В основании лежит четырехугольник

1. Прямоугольник

$\mathit{S}=\mathit{a}·\mathit{b}$, где $\mathit{а}$ и $\mathit{b}$ - смежные стороны.

2. Ромб

$\mathit{S}=\frac{{\mathit{d}}_1·{\mathit{d}}_2}{2}$, где ${\mathit{d}}_1$ и ${\mathit{d}}_2$ - диагонали ромба

$\mathit{S}={\mathit{a}}^2·\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\alpha }$, где $\mathit{а}$ - длина стороны ромба, а $\mathit{\alpha }$ - угол между соседними сторонами.

3. Трапеция

$\mathit{S}=\frac{\left(\mathit{a}+\mathit{b}\right)·\mathit{h}}{2}$, где $\mathit{а}$ и $\mathit{b}$ - основания трапеции, $\mathit{h}$ - высота трапеции.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.

Рассмотрим площади правильных многоугольников:

1. Для равностороннего треугольника $\mathit{S}=\frac{{\mathit{a}}^2\sqrt{3}}{4}$, где $\mathit{а}$ - длина стороны.

2. Квадрат

$\mathit{S}={\mathit{a}}^2$, где $\mathit{а}$ - сторона квадрата.

3. Правильный шестиугольник

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

$\mathit{S}=6·{\mathit{S}}_{\mathit{т}\mathit{р}\mathit{е}\mathit{у}\mathit{г}\mathit{о}\mathit{л}\mathit{ь}\mathit{н}\mathit{и}\mathit{к}\mathit{а}}=\frac{6·{\mathit{a}}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3·{\mathit{a}}^2\sqrt{3}}{2}$, где $\mathit{а}$ - сторона правильного шестиугольника.

Цилиндр - это та же призма, в основании которой лежит круг.

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}={\mathit{P}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}=2\mathit{\pi }\mathit{R}\mathit{h}$

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}={\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}+2{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}=2\mathit{\pi }\mathit{R}\mathit{h}+2\mathit{\pi }{\mathit{R}}^2=2\mathit{\pi }\mathit{R}\left(\mathit{h}+\mathit{R}\right)$

$\mathit{V}={\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}=\mathit{\pi }{\mathit{R}}^2\mathit{h}$

Подобные призмы: при увеличении всех линейных размеров призмы в $\mathit{k}$ раз, её объём увеличится в ${\mathit{k}}^3$ раз.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

$\mathit{M}\mathit{N}$ - средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

$\mathit{M}\mathit{N}//\mathit{A}\mathit{C},\mathit{M}\mathit{N}=\frac{\mathit{A}\mathit{C}}{2}$

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $\mathit{k}$ - коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $\mathit{k}$.
2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$\mathit{A}{\mathit{C}}^2+\mathit{B}{\mathit{C}}^2=\mathit{A}{\mathit{B}}^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $\mathit{А}\mathit{В}\mathit{С}$, с прямым углом $\mathit{С}$

Для острого угла $\mathit{В}:\mathit{А}\mathit{С}$ - противолежащий катет; $\mathit{В}\mathit{С}$ - прилежащий катет.

Для острого угла $\mathit{А}:\mathit{В}\mathit{С}$ - противолежащий катет; $\mathit{А}\mathit{С}$ - прилежащий катет.

1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

$\frac{\mathit{a}}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\alpha }}=\frac{\mathit{b}}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\beta }}=\frac{\mathit{c}}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\gamma }}=2\mathit{R}$, где $\mathit{R}$ - радиус описанной около треугольника окружности.

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

${\mathit{a}}^2={\mathit{b}}^2+{\mathit{c}}^2-2·\mathit{b}·\mathit{c}·\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{\alpha };$

${\mathit{b}}^2={\mathit{a}}^2+{\mathit{c}}^2-2·\mathit{a}·\mathit{c}·\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{\beta };$

${\mathit{c}}^2={\mathit{b}}^2+{\mathit{a}}^2-2·\mathit{b}·\mathit{a}·\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{\gamma }.$