Прямоугольный параллелепипед

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его основаниями являются прямоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, а боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1$ и $DD_1$ перпендикулярны к основаниям.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

1. В прямоугольном параллелепипеде $6$ граней и все они являются прямоугольниками.
2. Противоположные грани попарно равны и параллельны.
3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
5. Прямоугольный параллелепипед имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
7. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

$B_1D^2=AD^2+DC^2+C_1C^2$

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$а$ - длина;

$b$ - ширина;

$с$ - высота(она же боковое ребро);

$P_{осн}$ - периметр основания;

$S_{осн}$ - площадь основания;

$S_{бок}$ - площадь боковой поверхности;

$S_{п.п}$ - площадь полной поверхности;

$V$ - объем.

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

$S_{бок}=P_{осн}·c=2(a+b)·c$ – площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро.

$S_{п.п}=2(ab+bc+ac).$

Дополнительные сведения, которые пригодятся для решения задач:

Куб

$а$ - длина стороны.

$V=a^3;$

$S_{бок}=4а^2;$

$S_{п.п}=6а^2;$

$d=a√3$ – диагональ равна длине стороны, умноженной на $√3$.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) - треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Объем любой пирамиды равен трети произведения основания и высоты.

$V={1}/{3}S_{осн}·h$

В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

Площадь треугольника.

• $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ - высота, проведенная к стороне $а$.
• $S={a·b·sin⁡α}/{2}$, где $a,b$ - соседние стороны, $α$ - угол между этими соседними сторонами.
• Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ - это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$.
• $S=p·r$, где $r$ - радиус вписанной окружности.
• $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ - радиус описанной окружности.
• Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ - катеты прямоугольного треугольника.
• Для равностороннего треугольника $S={a^2√3}/{4}$, где $а$ - длина стороны. 

В основании лежит четырехугольник.

1. Прямоугольник.
   $S=a·b$, где $а$ и $b$ - смежные стороны.
2. Ромб.
   $S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба.
   $S=a^2·sin⁡α$, где $а$ - длина стороны ромба, а $α$ - угол между соседними сторонами.
3. Трапеция.
   $S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ - основания трапеции, $h$ - высота трапеции.
4. Квадрат.
   $S=a^2$, где $а$ - сторона квадрата.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$