Прямоугольный параллелепипед

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$. Его основаниями являются прямоугольники $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ и ${\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$, а боковые ребра $\mathit{A}{\mathit{A}}_1,\mathit{B}{\mathit{B}}_1,\mathit{C}{\mathit{C}}_1$ и $\mathit{D}{\mathit{D}}_1$ перпендикулярны к основаниям.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

1. В прямоугольном параллелепипеде $6$ граней и все они являются прямоугольниками.
2. Противоположные грани попарно равны и параллельны.
3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
5. Прямоугольный параллелепипед имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
7. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

${\mathit{B}}_1{\mathit{D}}^2=\mathit{A}{\mathit{D}}^2+\mathit{D}{\mathit{C}}^2+{\mathit{C}}_1{\mathit{C}}^2$

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$\mathit{а}$ - длина;

$\mathit{b}$ - ширина;

$\mathit{с}$ - высота(она же боковое ребро);

${\mathit{P}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$ - периметр основания;

${\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$ - площадь основания;

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}$ - площадь боковой поверхности;

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}$ - площадь полной поверхности;

$\mathit{V}$ - объем.

$\mathit{V}=\mathit{a}·\mathit{b}·\mathit{c}$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}={\mathit{P}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{c}=2\left(\mathit{a}+\mathit{b}\right)·\mathit{c}$ – площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро.

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}=2\left(\mathit{a}\mathit{b}+\mathit{b}\mathit{c}+\mathit{a}\mathit{c}\right).$

Дополнительные сведения, которые пригодятся для решения задач:

Куб

$\mathit{а}$ - длина стороны.

$\mathit{V}={\mathit{a}}^3;$

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}=4{\mathit{а}}^2;$

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}=6{\mathit{а}}^2;$

$\mathit{d}=\mathit{a}\sqrt{3}$ – диагональ равна длине стороны, умноженной на $\sqrt{3}$.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) - треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($\mathit{h}$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Объем любой пирамиды равен трети произведения основания и высоты.

$\mathit{V}=\frac{1}{3}{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}$

В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

Площадь треугольника.

• $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·{\mathit{h}}_{\mathit{a}}}{2}$, где ${\mathit{h}}_{\mathit{a}}$ - высота, проведенная к стороне $\mathit{а}$.
• $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·\mathit{b}·\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\alpha }}{2}$, где $\mathit{a},\mathit{b}$ - соседние стороны, $\mathit{\alpha }$ - угол между этими соседними сторонами.
• Формула Герона $\mathit{S}=\sqrt{\mathit{p}\left(\mathit{p}-\mathit{a}\right)\left(\mathit{p}-\mathit{b}\right)\left(\mathit{p}-\mathit{c}\right)}$, где $\mathit{р}$ - это полупериметр $\mathit{p}=\frac{\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}}{2}$.
• $\mathit{S}=\mathit{p}·\mathit{r}$, где $\mathit{r}$ - радиус вписанной окружности.
• $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·\mathit{b}·\mathit{c}}{4\mathit{R}}$, где $\mathit{R}$ - радиус описанной окружности.
• Для прямоугольного треугольника $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·\mathit{b}}{2}$, где $\mathit{а}$ и $\mathit{b}$ - катеты прямоугольного треугольника.
• Для равностороннего треугольника $\mathit{S}=\frac{{\mathit{a}}^2\sqrt{3}}{4}$, где $\mathit{а}$ - длина стороны. 

В основании лежит четырехугольник.

1. Прямоугольник.
   $\mathit{S}=\mathit{a}·\mathit{b}$, где $\mathit{а}$ и $\mathit{b}$ - смежные стороны.
2. Ромб.
   $\mathit{S}=\frac{{\mathit{d}}_1·{\mathit{d}}_2}{2}$, где ${\mathit{d}}_1$ и ${\mathit{d}}_2$ - диагонали ромба.
   $\mathit{S}={\mathit{a}}^2·\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\alpha }$, где $\mathit{а}$ - длина стороны ромба, а $\mathit{\alpha }$ - угол между соседними сторонами.
3. Трапеция.
   $\mathit{S}=\frac{\left(\mathit{a}+\mathit{b}\right)·\mathit{h}}{2}$, где $\mathit{а}$ и $\mathit{b}$ - основания трапеции, $\mathit{h}$ - высота трапеции.
4. Квадрат.
   $\mathit{S}={\mathit{a}}^2$, где $\mathit{а}$ - сторона квадрата.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$\mathit{А}{\mathit{С}}^2+\mathit{В}{\mathit{С}}^2=\mathit{А}{\mathit{В}}^2$