Куб
Куб – правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Все ребра куба равны.
Свойства куба:
1. В кубе $6$ граней и все они являются квадратами.
2. Противоположные грани попарно параллельны.
3. Все двугранные углы куба – прямые.
4. Диагонали равны.
5. Куб имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
6. Диагональ куба в $√3$ раз больше его ребра
$B_1D=AB√3$
7. Диагональ грани куба в $√2$ раза больше длины ребра.
$DC_1=DC√2$
Пусть $а-$длина ребра куба, $d-$диагональ куба, тогда справедливы формулы:
Объем куба: $V=a^3={d^3}/{3√3}$.
Площадь полной поверхности: $S_{п.п}=6а^2=2d^2$
Радиус сферы, описанной около куба: $R={a√3}/{2}$
Радиус сферы, вписанной в куб: $r={a}/{2}$
При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.
При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.
Прямоугольный параллелепипед
Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.
1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).
$B_1D^2=AD^2+DC^2+C_1C^2$
Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:
$а$-длина;
$b$-ширина;
$с$-высота(она же боковое ребро);
$P_{осн}$-периметр основания;
$S_{осн}$-площадь основания;
$S_{п.п}$-площадь полной поверхности;
$V$-объем.
$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.
$S_{п.п}=2(ab+bc+ac)$.
Пирамида
Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) - треугольники, имеющие общую вершину.
Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.
$SO$ - высота.
Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.
$h_a$ - высота боковой грани (апофема)
$S_{бок}={P_{осн}·h_a}/{2}$
$S_{п.п}=S_{бок}+S_{осн}$
$V={1}/{3}S_{осн}·h$
В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:
- Для равностороннего треугольника $S={a^{2}√3}/{4}$, где $а$ - длина стороны.
- Квадрат $S=a^2$, где $а$ - сторона квадрата.
Задачи на нахождение объема составного многогранника:
- Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
- Найти объем каждого параллелепипеда.
- Сложить объемы.
Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.
- Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:
$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$
Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.
- Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.
