Куб

Свойства куба:

1. В кубе $6$ граней и все они являются квадратами.

2. Противоположные грани попарно параллельны.

3. Все двугранные углы куба – прямые.

4. Диагонали равны.

5. Куб имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

6. Диагональ куба в $\sqrt{3}$ раз больше его ребра

${\mathit{B}}_1\mathit{D}=\mathit{A}\mathit{B}\sqrt{3}$

7. Диагональ грани куба в $\sqrt{2}$ раза больше длины ребра.

$\mathit{D}{\mathit{C}}_1=\mathit{D}\mathit{C}\sqrt{2}$

Пусть $\mathit{а}-$длина ребра куба, $\mathit{d}-$диагональ куба, тогда справедливы формулы:

Объем куба: $\mathit{V}={\mathit{a}}^3=\frac{{\mathit{d}}^3}{3\sqrt{3}}$.

Площадь полной поверхности: ${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}=6{\mathit{а}}^2=2{\mathit{d}}^2$

Радиус сферы, описанной около куба: $\mathit{R}=\frac{\mathit{a}\sqrt{3}}{2}$

Радиус сферы, вписанной в куб: $\mathit{r}=\frac{\mathit{a}}{2}$

При увеличении всех линейных размеров куба в $\mathit{k}$ раз, его объём увеличится в ${\mathit{k}}^3$ раз.

При увеличении всех линейных размеров куба в $\mathit{k}$ раз, площадь его поверхности увеличится в ${\mathit{k}}^2$ раз.

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

${\mathit{B}}_1{\mathit{D}}^2=\mathit{A}{\mathit{D}}^2+\mathit{D}{\mathit{C}}^2+{\mathit{C}}_1{\mathit{C}}^2$

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$\mathit{а}$-длина;

$\mathit{b}$-ширина;

$\mathit{с}$-высота(она же боковое ребро);

${\mathit{P}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$-периметр основания;

${\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$-площадь основания;

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}$-площадь полной поверхности;

$\mathit{V}$-объем.

$\mathit{V}=\mathit{a}·\mathit{b}·\mathit{c}$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}=2\left(\mathit{a}\mathit{b}+\mathit{b}\mathit{c}+\mathit{a}\mathit{c}\right)$.

Пирамида

$\mathit{S}\mathit{O}$ - высота.

Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.

${\mathit{h}}_{\mathit{a}}$ - высота боковой грани (апофема)

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}=\frac{{\mathit{P}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·{\mathit{h}}_{\mathit{a}}}{2}$

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}={\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}+{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$

$\mathit{V}=\frac{1}{3}{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}$

В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:

1. Для равностороннего треугольника $\mathit{S}=\frac{{\mathit{a}}^2\sqrt{3}}{4}$, где $\mathit{а}$ - длина стороны.
2. Квадрат $\mathit{S}={\mathit{a}}^2$, где $\mathit{а}$ - сторона квадрата.

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

1. Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2. Найти объем каждого параллелепипеда.
3. Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

- Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

${\mathit{S}}_{\mathit{п}\mathit{о}\mathit{л}\mathit{н}.\mathit{п}\mathit{о}\mathit{в}.}={\mathit{P}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}+2{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

- Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.