Первообразная

Разбор сложных заданий в тг-канале:

Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$ , для которой выполняется равенство: $F'(x)=f(x)$

Таблица первообразных

Первообразная нуля равна $С$

Функция	Первообразная
$f(x)=k$	$F(x)=kx+C$
$f(x)=x^m, m≠-1$	$F(x)={x^{m+1}}/{m+1}+C$
$f(x)={1}/{x}$	$F(x)=ln\|x\|+C$
$f(x)=e^x$	$F(x)=e^x+C$
$f(x)=a^x$	$F(x)={a^x}/{lna}+C$
$f(x)=sinx$	$F(x)-cosx+C$
$f(x)=cosx$	$F(x)=sinx+C$
$f(x)={1}/{sin^2x}$	$F(x)=-ctgx+C$
$f(x)={1}/{cos^2x}$	$F(x)=tgx+C$
$f(x)=√x$	$F(x)={2x√x}/{3}+C$
$f(x)={1}/{√x}$	$F(x)=2√x+C$

Если $y=F(x)$ – это первообразная для функции $y=f(x)$ на промежутке $Х$ , то $у$ $у=f(x)$ бесконечно много первообразных и все они имеют вид $y=F(x)+C$

Правила вычисления первообразных:

Первообразная суммы равна сумме первообразных. Если $F(x)$ - первообразная для $f(x)$ , а $G(x)$ – первообразная для $g(x)$ , то $F(x)+G(x)$ - первообразная для $f(x)+g(x)$ .
Постоянный множитель выносится за знак первообразной. Если $F(x)$ - первообразная для $f(x)$ , а $k$ – постоянная величина, то $k$ $F(x)$ - первообразная для $k$ $f(x)$ .
Если $F(x)$ - первообразная для $f(x)$ , $а, k, b$ - постоянные величины, причем $k≠0$ , то ${1}/{k}$ $F(kx+b)$ - это первообразная для $f(kx+b)$ .

Пример:

Найти первообразную для функции $f(x)=2sin⁡x+{4}/{x}-{cos⁡x}/{3}$ .

Решение:

Чтобы было проще найти первообразную от функции, выделим коэффициенты каждого слагаемого

$f(x)=2sin⁡x+{4}/{x}-{cos⁡x}/{3}=2∙sin⁡x+4∙{1}/{x}-{1/3}∙cos⁡x$

Далее, воспользовавшись таблицей первообразных, найдем первообразную для каждой функции, входящих в состав $f(x)$

$f_1=sin⁡x$

$f_2={1}/{x}$

$f_3=cos⁡x$

Для $f_1=sin⁡x$ первообразная равна $F_1=-cos⁡x$

Для $f_2={1}/{x}$ первообразная равна $F_2=ln⁡|x|$

Для $f_2=cos⁡x$ первообразная равна $F_3=sin⁡x$

По первому правилу вычисления первообразных получаем:

$F(x)=2F_1+4F_2-{1}/{3}F_3=2∙(-cos⁡x)+4∙ln⁡|x|-{1}/{3}∙sin⁡x$

Итак, общий вид первообразной для заданной функции

$F(x)=-2cos⁡x+4ln⁡|x|-{sin x}/{3}+C$

Связь между графиками функции и ее первообразной:

Если график функции $f (x) > 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ возрастает на этом промежутке.
Если график функции $f (x) < 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ убывает на этом промежутке.
Если $f(x)=0$ , то график ее первообразной $F(x)$ в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).

Пример:

На рисунке изображен график функции $y=F(x)$ – одной из первообразных некоторой функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-3;5)$ . Пользуясь рисунком, определите количество решений $f(x)=0$ на отрезке $(-2;2]$

Если $f(x)=0$ , то график ее первообразной $F(x)$ в этой точке меняется с возрастающего на убывающий(или наоборот).

Выделим отрезок $(-2;2]$ и отметим на нем экстремумы.

У нас получилось $6$ таких точек.

Ответ: $6$

Неопределенный интеграл

Если функция $у=f(x)$ имеет на промежутке $Х$ первообразную $у=F(x)$ , то множество всех первообразных $у=F(x)+С$ , называют неопределенным интегралом функции $у=f(x)$ и записывают:

$∫f(x)dx$

Определенный интеграл – это интеграл с пределами интегрирования (на отрезке)

$∫_a^bf(x)dx$ , где $a, b$ - пределы интегрирования

Площадь криволинейной трапеции или геометрический смысл первообразной

Площадь $S$ фигуры, ограниченной осью $O х$ , прямыми $х=а$ и $х=b$ и графиком неотрицательной функции $у=f(x)$ на отрезке $[a;b]$ , находится по формуле

$S=∫_a^bf(x)dx$

Формула Ньютона - Лейбница

Если функция $у=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$ , то справедливо равенство

$∫_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$ , где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$

Пример:

На рисунке изображен график некоторой функции $у=f(x)$ . Одна из первообразных этой функции равна $F(x)={2х^3}/{3}-2х^2-1$ . Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Решение:

Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках $1$ и $-2$

$S=F(1)-F(-2)$

Первообразная нам известна, следовательно, осталось только подставить в нее значения и вычислить

$F(1)={2∙1}/{3}-2∙1-1={2}/{3}-2-1={2}/{3}-3$

$F(-2)={2(-2)^3}/{3}-2(-2)^2-1={2∙(-8)}/{3}-8-1=-{16}/{3}-9$

$S={2}/{3}-3-(-{16}/{3}-9)={2}/{3}-3+{16}/{3}+9={18}/{3}+6=6+6=12$

Ответ: $12$

Практика: решай 7 задание и тренировочные варианты ЕГЭ по математике (профиль)

<< Вычисления и преобразования выражений

Куб >>

Составим твой персональный план подготовки к ЕГЭ

Хочу!

Первообразная

Таблица первообразных

Правила вычисления первообразных:

Связь между графиками функции и ее первообразной:

Неопределенный интеграл

Площадь криволинейной трапеции или геометрический смысл первообразной

Формула Ньютона - Лейбница

Составим твой персональный план подготовки к ЕГЭ

Начни онлайн-курс ЕГЭ по математике (профиль) прямо сейчас