Первообразная
Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$, для которой выполняется равенство: $F'(x)=f(x)$
Таблица первообразных
Первообразная нуля равна $С$
| Функция | Первообразная |
| $f(x)=k$ | $F(x)=kx+C$ |
| $f(x)=x^m, m≠-1$ | $F(x)={x^{m+1}}/{m+1}+C$ |
| $f(x)={1}/{x}$ | $F(x)=ln|x|+C$ |
| $f(x)=e^x$ | $F(x)=e^x+C$ |
| $f(x)=a^x$ | $F(x)={a^x}/{lna}+C$ |
| $f(x)=sinx$ | $F(x)-cosx+C$ |
| $f(x)=cosx$ | $F(x)=sinx+C$ |
| $f(x)={1}/{sin^2x}$ | $F(x)=-ctgx+C$ |
| $f(x)={1}/{cos^2x}$ | $F(x)=tgx+C$ |
| $f(x)=√x$ | $F(x)={2x√x}/{3}+C$ |
| $f(x)={1}/{√x}$ | $F(x)=2√x+C$ |
Если $y=F(x)$ – это первообразная для функции $y=f(x)$ на промежутке $Х$, то $у$ $у=f(x)$ бесконечно много первообразных и все они имеют вид $y=F(x)+C$
Правила вычисления первообразных:
- Первообразная суммы равна сумме первообразных. Если $F(x)$ - первообразная для $f(x)$, а $G(x)$ – первообразная для $g(x)$, то $F(x)+G(x)$ - первообразная для $f(x)+g(x)$.
- Постоянный множитель выносится за знак первообразной. Если $F(x)$ - первообразная для $f(x)$, а $k$ – постоянная величина, то $k$ $F(x)$ - первообразная для $k$ $f(x)$.
- Если $F(x)$ - первообразная для $f(x)$, $а, k, b$ - постоянные величины, причем $k≠0$, то ${1}/{k}$ $F(kx+b)$ - это первообразная для $f(kx+b)$.
Пример:
Найти первообразную для функции $f(x)=2sinx+{4}/{x}-{cosx}/{3}$.
Решение:
Чтобы было проще найти первообразную от функции, выделим коэффициенты каждого слагаемого
$f(x)=2sinx+{4}/{x}-{cosx}/{3}=2∙sinx+4∙{1}/{x}-{1/3}∙cosx$
Далее, воспользовавшись таблицей первообразных, найдем первообразную для каждой функции, входящих в состав $f(x)$
$f_1=sinx$
$f_2={1}/{x}$
$f_3=cosx$
Для $f_1=sinx$ первообразная равна $F_1=-cosx$
Для $f_2={1}/{x}$ первообразная равна $F_2=ln|x|$
Для $f_2=cosx$ первообразная равна $F_3=sinx$
По первому правилу вычисления первообразных получаем:
$F(x)=2F_1+4F_2-{1}/{3}F_3=2∙(-cosx)+4∙ln|x|-{1}/{3}∙sinx$
Итак, общий вид первообразной для заданной функции
$F(x)=-2cosx+4ln|x|-{sin x}/{3}+C$
Связь между графиками функции и ее первообразной:
- Если график функции $f (x) > 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ возрастает на этом промежутке.
- Если график функции $f (x) < 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ убывает на этом промежутке.
- Если $f(x)=0$, то график ее первообразной $F(x)$ в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).
Пример:
На рисунке изображен график функции $y=F(x)$ – одной из первообразных некоторой функции $f(x)$, определенной на интервале $(-3;5)$. Пользуясь рисунком, определите количество решений $f(x)=0$ на отрезке $(-2;2]$
Если $f(x)=0$, то график ее первообразной $F(x)$ в этой точке меняется с возрастающего на убывающий(или наоборот).
Выделим отрезок $(-2;2]$ и отметим на нем экстремумы.
У нас получилось $6$ таких точек.
Ответ: $6$
Неопределенный интеграл
Если функция $у=f(x)$ имеет на промежутке $Х$ первообразную $у=F(x)$, то множество всех первообразных $у=F(x)+С$, называют неопределенным интегралом функции $у=f(x)$ и записывают:
$∫f(x)dx$
Определенный интеграл – это интеграл с пределами интегрирования (на отрезке)
$∫_a^bf(x)dx$, где $a,b$ - пределы интегрирования
Площадь криволинейной трапеции или геометрический смысл первообразной
Площадь $S$ фигуры, ограниченной осью $Oх$, прямыми $х=а$ и $х=b$ и графиком неотрицательной функции $у=f(x)$ на отрезке $[a;b]$, находится по формуле
$S=∫_a^bf(x)dx$
Формула Ньютона - Лейбница
Если функция $у=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$, то справедливо равенство
$∫_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$, где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$
Пример:
На рисунке изображен график некоторой функции $у=f(x)$. Одна из первообразных этой функции равна $F(x)={2х^3}/{3}-2х^2-1$. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Решение:
Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках $1$ и $-2$
$S=F(1)-F(-2)$
Первообразная нам известна, следовательно, осталось только подставить в нее значения и вычислить
$F(1)={2∙1}/{3}-2∙1-1={2}/{3}-2-1={2}/{3}-3$
$F(-2)={2(-2)^3}/{3}-2(-2)^2-1={2∙(-8)}/{3}-8-1=-{16}/{3}-9$
$S={2}/{3}-3-(-{16}/{3}-9)={2}/{3}-3+{16}/{3}+9={18}/{3}+6=6+6=12$
Ответ: $12$
