Теоремы о вероятностях событий

Иван Иванович купил два различных лотерейных билета. Вероятность того, что выиграет первый лотерейный билет, равна $0,15$. Вероятность того, что выиграет второй лотерейный билет, равна $0,12$. Иван Иванович участвует в обоих розыгрышах. Считая, что розыгрыши проводятся независимо друг от друга, найдите вероятность того, что Иван Иванович выиграет в обоих розыгрышах.

Решения:

Вероятность $\mathit{Р}\left(\mathit{А}\right)$ - выиграет первый билет.

Вероятность $\mathit{Р}\left(\mathit{В}\right)$ - выиграет второй билет.

События $\mathit{А}$ и $\mathit{В}$ – это независимые события. То есть, чтобы найти вероятность того, что они произойдут оба события, нужно найти произведение вероятностей

$\mathit{Р}\left(\mathit{А}·\mathit{В}\right)=\mathit{Р}\left(\mathit{А}\right)·\mathit{Р}\left(\mathit{В}\right)$

$\mathit{Р}=0,15·0,12=0,018$

Ответ: $0,018$

На экзамене по алгебре школьнику достается один вопрос их всех экзаменационных. Вероятность того, что это вопрос на тему «Квадратные уравнения», равна $0,3$. Вероятность того, что это вопрос на тему «Иррациональные уравнения», равна $0,18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

Данные события называются несовместные, так как школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Квадратные уравнения», ЛИБО по теме «Иррациональные уравнения». Одновременно темы не могут попасться. Вероятность суммы двух несовместных событий $\mathit{A}$ и $\mathit{B}$ равна сумме вероятностей этих событий:

$\mathit{Р}\left(\mathit{А}+\mathit{В}\right)=\mathit{Р}\left(\mathit{А}\right)+\mathit{Р}\left(\mathit{В}\right)$

$\mathit{Р}=0,3+0,18=0,48$

Ответ: $0,48$

В холле кинотеатра два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна $0,6$. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0,32$. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов.

Решение:

Обозначим события, пусть:

$\mathit{А}$ = кофе закончится в первом автомате,

$\mathit{В}$ = кофе закончится во втором автомате.

Тогда,

$\mathit{A}·\mathit{B}=$ кофе закончится в обоих автоматах,

$\mathit{A}+\mathit{B}=$ кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию, $\mathit{P}\left(\mathit{A}\right)=\mathit{P}\left(\mathit{B}\right)=0,6;\mathit{P}\left(\mathit{A}·\mathit{B}\right)=0,32$.

События $\mathit{A}$ и $\mathit{B}$ совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

$\mathit{P}\left(\mathit{A}+\mathit{B}\right)=\mathit{P}\left(\mathit{A}\right)+\mathit{P}\left(\mathit{B}\right)-\mathit{P}\left(\mathit{A}·\mathit{B}\right)=0,6+0,6-0,32=0,88$

Ответ: $0,88$