Простейшие уравнения
Теория к заданию 5 из ЕГЭ по математике (профиль)
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, - правой частью уравнения.
Линейные уравнения
Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$
Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.
$5 (5 + 3х) - 10х = 8$
Раскроем скобки.
$25 + 15х - 10х = 8$
Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.
$15х - 10х = 8 - 25$
Приведем подобные слагаемые.
$5х = -17$ - это конечный результат преобразований.
После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = {b}/{a}$
$х=-{17}/{5}$
$х = - 3,4$
Ответ: $- 3,4$
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.
Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.
- $a$ - старший коэффициент;
- $b$ - средний коэффициент;
- $c$ - свободный член.
Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.
Решение неполных квадратных уравнений
Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.
1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.
Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:
$x = 0; ax + b = 0$
2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.
Мы получим $x = 0$ и $x={-b}/{a}$. Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня $x = 0$ и $x={-b}/{a}$
$4х^2 - 5х = 0$
Вынесем х как общий множитель за скобки:
$х (4х - 5) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.
$x = 0$ или $4х - 5 = 0$
$х_1 = 0 х_2 = 1,25$
Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$
Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$
Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.
$ax^2 + c = 0$
$ax^2 = - c$
$x_2 = {-c}/{a}$
При решении последнего уравнения возможны два случая:
если ${-c}/{a}>0$, то получаем два корня: $x = ±v{{-c}/{a}}$
если ${-c}/{a}<0$, то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.
$x^2 - 16 = 0$
$x^2 = 16$
$x = ±4$
Ответ: $х_1 = 4, х_2 = - 4$
Решение полного квадратного уравнения
Решение с помощью дискриминанта
Дискриминантом квадратного уравнения D называется выражение
$b^2 — 4ac$.
При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:
1. $D > 0$. Тогда корни уравнения равны:
$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}$
2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:
$x_{1}=x_{2}={-b}/{2a}$
3. $D < 0$. В этом случае уравнение не имеет корней.
$3х^2 - 11 = -8х$
Соберем все слагаемые в левую часть уравнения и расставим в порядке убывания степеней
$3х^2 + 8х - 11 = 0$
$a = 3 ,b = 8, c = - 11$
$D = b^2- 4ac = 82- 4 · 3 · (-11) = 196 = 142$
$x_{1}={-b+√D}/{2a}={-8+14}/{6}=1$
$x_{2}={-b-√D}/{2a}={-8-14}/{6}=-3{2}/{3}$
Ответ: $x_1=1, x_2=-3{2}/{3}$
Устные способы
Если сумма коэффициентов равна нулю $(а + b + c = 0)$, то $х_1= 1, х_2={с}/{а}$
$4х^2+ 3х - 7 = 0$
$4 + 3 - 7 = 0$, следовательно $х_1= 1, х_2=-{7}/{4}$
Ответ: $х_1= 1, х_2 = -{7}/{4}$
Если старший коэффициент в сумме со свободным равен среднему коэффициенту $(a + c = b)$, то $х_1= - 1, х_2=-{с}/{а}$
$5х^2+ 7х + 2 = 0$
$5 + 2 = 7$, следовательно, $х_1= -1, х_2 =-{2}/{5}$
Ответ: $х_1= -1, х_2 = -{2}/{5}$
Кубические уравнения
Для решения простых кубических уравнений необходимо обе части представить в виде основания в третьей степени. Далее извлечь кубический корень и получить простое линейное уравнение.
$(x - 3)^3 = 27$
Представим обе части как основания в третьей степени
$(x - 3)^3 = $33
Извлечем кубический корень из обеих частей
$х - 3 = 3$
Соберем известные слагаемые в правой части
$x = 6$
Ответ: $х = 6$
Дробно рациональные уравнения
Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.
Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:
- найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
- умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
- решить получившееся целое уравнение;
- исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.
$4x + 1 - {3}/{x} = 0$
1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x≠0$
2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения
$4x + 1 - {3}/{x}= 0¦· x$
$4x · x + 1 · x - {3·x}/{x} = 0$
3. решаем полученное уравнение
$4x^2 + x - 3 = 0$
Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$
Тогда $х_1 = - 1, х_2 = {3}/{4}$
4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $х_1 = - 1, х_2 = {3}/{4}$
При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.
Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b} = {c}/{d}$, то $a · d = b · c$
${3х-5}/{-2}={1}/{х}$
Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x≠0$
Воспользуемся основным свойством пропорции
$х (3х - 5) = -2$
Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения
$3х^2- 5х + 2 = 0$
Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.
$a + b + c = 0$
$x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$
В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$
Рациональное уравнение – это уравнение вида $f(x)=g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ - рациональные выражения.
Рациональные выражения - это целые и дробные выражения, соединённые между собой знаками арифметических действий: деления, умножения, сложения или вычитания, возведения в целую степень и знаками последовательности этих выражений.
Например,
${2}/{x}+5x=7$ – рациональное уравнение
$3x+√x=7$ - иррациональное уравнение (содержит корень)
Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно рациональным.
Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:
- Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ);
- Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
- Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
- Решить получившееся целое уравнение;
- Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.
Решить уравнение: $4x+1-{3}/{x}=0$
Решение:
1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x ≠ 0$
2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения
$4x+1-{3}/{x}=0|·x$
$4x·x+1·x-{3·x}/{x}=0$
3. решаем полученное уравнение
$4x^2+x-3=0$
Решим вторым устным способом, т.к. $а+с=b$
Тогда, $x_1=-1, x_2=-{3}/{4}$
4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю
В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $x_1=-1, x_2=-{3}/{4}$
При решении уравнения с двумя дробями, можно использовать основное свойство пропорции.
Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b}={c}/{d}$ - пропорция, то $a·d=b·c$
Решить уравнение ${3x-5}/{-2}={1}/{x}$
Решение:
Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x≠0$
Воспользуемся основным свойством пропорции
$х(3х-5)=-2$
Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой стороне
$3х^2-5х+2=0$
Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к. $a+b+c=0$
$x_1=1, x_2={2}/{3}$
В первом пункте получилось, что при x = 0 уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $x_1=1, x_2={2}/{3}$
Уравнения, содержащие неизвестную под знаком корня, называются иррациональными.
Чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:
- Преобразовать заданное иррациональное уравнение к виду: $√{f(x)}=g(x)$ или $√{f(x)}=√{g(x)}$
- Обе части уравнение возвести в квадрат: $√{f(x)}^2=(g(x))^2$ или $√{f(x)}^2=√{g(x)}^2$
- Решить полученное рациональное уравнение.
- Сделать проверку корней, так как возведение в четную степень может привести к появлению посторонних корней. (Проверку можно сделать при помощи подстановки найденных корней в исходное уравнение.)
Решите уравнение $√{4х-3}=х$. Если уравнение имеет более одного корня, укажите наименьший из них.
Решение:
Обе части уравнение возведем в квадрат:
$√{4х-3}^2=х^2$
Получаем квадратное уравнение:
$4х-3=х^2$
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
${-х}^2+4х-3=0$
Решим данное квадратное уравнение устным способом, так как
$a+b+c=0$
$-1+4-3=0$, следовательно $х_1 = 1; х_2={с}/{а}={-3}/{-1}=3$
Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение
$√{4·1-3}=1$
$1=1$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно $х_1=1$ подходит.
$√{4·(3)-3}=3$
$√9=3$
$3=3$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно корень $х_2=3$ подходит
$х_1=1$ наименьший корень.
Ответ: $1$
Так как в иррациональных уравнениях иногда необходимо возводить в квадрат не только число, но и целое выражение, необходимо вспомнить формулы сокращенного умножения:
- Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе число плюс квадрат второго числа. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
- Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Решить уравнение: $х-6=√{8-х}$
Возведем обе части уравнения в квадрат
$(х-6)^2=8-х$
В левой части уравнения при возведении в квадрат получаем формулу сокращенного умножения квадрат разности. В правой части уравнения квадрат и корень компенсируют друг друга и в результате остается только подкоренное выражение
$х^2-2·6·х+6^2=8-х$
$х^2-12х+36=8-х$
Получили квадратное уравнение. Все слагаемые переносим в левую часть уравнения. При переносе слагаемых через знак равно их знаки меняются на противоположные.
$х^2-12х+36-8+х=0$
Приводим подобные слагаемые:
$х^2-11х+28=0$
Найдем корни уравнения через дискриминант:
$D=b^2-4ac=121-4·28=121-112=9=3^2$
$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}={11±3}/{2}$
$x_1=7; x_2=4$
Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение
$x_1=7$
$7-6=√{8-7}$
$1=1$, получили верное равенство, следовательно, корень нам подходит.
$x_2=4$
$4-6=√{8-4}$
$-2=2$, получили неверное равенство, следовательно, данный корень посторонний.
Ответ: $7$
Показательными называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
$a^x=b$
При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.
$a^n⋅a^m=a^{n+m}$
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются
$a^n:a^m=a^{n-m}$
3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются
$(a^n)^m=a^{n·m}$
4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
$(a·b)^n=a^n·b^n$
5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель
$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$
6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице
$a^0=1$
7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби
$a^{-n}={1}/{a^n}$
${a^{-n}}/{b^{-k}}={b^k}/{a^n}$
8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем
$√^n{a^k}=a^{{k}/{n}}$
Показательные уравнения часто сводятся к решению уравнения $a^x=a^m$, где, $а >0, a≠1, x$ - неизвестное. Для решения таких уравнений воспользуемся свойством степеней: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели.
Решить уравнение $25·5^х=1$
Решение:
В левой части уравнения необходимо сделать одну степень с основанием $5$ и в правой части уравнения представить число $1$ в виде степени с основанием $5$
$5^2·5^х=5^0$
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются
$5^{2+х}=5^0$
Далее проговариваем: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели
$2+х=0$
$х=-2$
Ответ: $-2$
Решить уравнение $2^{3х+2}-2^{3х-2}=30$
Решение:
Чтобы решить данное уравнение, вынесем степень с наименьшим показателем как общий множитель
$2^{3x+2}-2^{3x-2}=30$
$2^{3x-2}({2^{3x+2}}/{2^{3x-2}}-{2^{3x-2}}/{2^{3x-2}})=30$
$2^{3x-2}(2^{3x+2-(3x-2)}-1)=30$
$2^{3x-2}(2^4-1)=30$
$2^{3x-2}·15=30$
Разделим обе части уравнения на $15$
$2^{3х-2}=2$
$2^{3х-2}=2^1$
$3х-2=1$
$3х=3$
$х=1$
Ответ: $1$
