Вычисления и преобразования. Логарифмические выражения
Теория к заданию 6 из ЕГЭ по математике (профиль)
Логарифмом положительного числа $b$ по основанию а, где $a>0$, $a≠1$, называется показатель степени, в которую надо возвести число $а$, чтобы получить $b$.
Пример:
$log_{2}8=3$, т.к. $2^{3}=8;$
$log_{3}{1}/{27}=-3$, т.к $3^{-3}={1}/{27}$
Особенно можно выделить три формулы:
$log_{a}a=1;$
$log_{a}1=0;$
$log_{a}a^b=b.$
Основное логарифмическое тождество:
$a^{log_{a}b}=b$
Это равенство справедливо при $b>0, a>0, a≠1$
Пример:
$4^{log_{4}5}=5;$
$3^{-2log_{3}5}={3^{log_{3}5^{-2}}}=5^{-2}={1}/{25}$
Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию $10$ и пишут $lgb$ вместо $log_{10}b$.
Пример:
$lg100000=lg10^5=5$
Ответ: $5$
Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию $е$, где $е$ – иррациональное число, приближенно равное $2.7$. При этом пишут $lnb$, вместо $log_{e}b$
Свойства логарифмов.
Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a>0, a≠1, b>0, c>0, m$ – любое действительное число.
1. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:
$log{_а}b^m=mlog_{a}b;$
$log_{a^m}b={1}/{m}log_{a}b.$
$log_{a^n}b^m={m}/{n}log_{a}b$
Пример:
$log_{3}3^{10}=10log_{3}3=10;$
$log_{5^3}7={1}/{3}log_{5}7;$
$log_{3^7}4^5={5}/{7}log_{3}4;$
2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.
$log_{a}(bc)=log_{a}b+log_{a}c$
Пример:
Вычислить $log_{12}2+log_{12}72$
Применим второе свойство наоборот: сумма логарифмов по одинаковому основанию равна логарифму произведения подлогарифмических выражений
$log_{12}2+log_{12}72=log_{12}2·72=log_{12}144=2$
Ответ: $2$
3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию
$log_{a}{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$
Пример:
Вычислить $log_{5}75-log_{5}3$
Решение:
Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного подлогарифмических выражений
$log_{5}75-log_{5}3=log_{5}{75}/{3}=log_{5}25=2$
Ответ: $2$
4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания
$log_{a}b·log_{c}d=log_{c}b·log_{a}d$, если $a$, $b$, $c$, $d>0$, $a≠1$, $b≠1.$
5. $c^{log_{a}b}=b^{log_{a}c}$, где $а, b, c>0, a≠1$
6. Формула перехода к новому основанию
$log_{a}b={log_{c}b}/{log_{c}a}$
7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение
$log_{a}b={1}/{log_{b}a}$
Пример:
Найдите значение выражения: ${log_{2}∜{13}}/{log_{2}13}$
Решение:
В выражении видим, что был произведен переход к новому основанию $2$. Нам необходимо вернуться к старому основанию $13$.
${log_{2}∜{13}}/{log_{2}13}=log_{13}∜{13}$
Далее вычислим получившийся логарифм, для этого подлогарифмическое выражение необходимо представить в виде степени. Любой корень можно выразить в виде степени с дробным показателем, в знаменателе показателя будет находиться показатель корня
$∜{13}=13^{{1}/{4}}$
$log_{13}∜{13}=log_{13}13^{{1}/{4}}={1}/{4}=0.25$
Ответ: $0.25$
