Регистрация Войти
Все для самостоятельной подготовки к ЕГЭ

Готовься к ЕГЭ по персональному плану, следи за своим прогрессом, устраняй пробелы, выполняй квесты и получай награды

или
Войти через Вконтакте
Регистрируясь, я принимаю условия пользовательского соглашения
Русский язык
Математика
Обществознание
Физика
История
Биология
Химия
Информатика
География
ОГЭ

Треугольник

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами.

На рисунке:

$А,В,С$ - вершины треугольника.

$АВ,ВС$ и $АС$ – стороны треугольника.

Виды треугольников по величине углов:

1. Остроугольный треугольник - такой треугольник, в котором все углы меньше $90°$, т.е. острые. 

2. Прямоугольный треугольник - треугольник, имеющий прямой угол. 

3. Тупоугольный треугольник - треугольник, содержащий тупой угол, т.е. угол от $90°$ до $180°$. 

Виды треугольников по соотношению сторон:

1. Равносторонний (правильный) треугольник – это такой треугольник, у которого все стороны и углы равны.

2. Равнобедренный треугольник - это такой треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми. Третья сторона называется основанием. 

3. Разносторонний треугольник – это такой треугольник, у которого длины всех сторон разные. 

Медиана, биссектриса, высота

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке $O$, эта точка делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника. 

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника. 

Основные свойства треугольников:

  1. Сумма всех углов в треугольнике равна $180°$.
  2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  3. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой.
  4. В равностороннем треугольнике все углы по $60°$.
  5. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
  6. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. 

$MN$ - средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

$MN‖AC, MN={AC}/{2}$



Площадь треугольника:


  1. $S={a∙h_a}/{2}$, где $h_a$ - высота, проведенная к стороне $а$.
  2. $S={a∙b∙sin⁡α}/{2}, где $a,b$ - соседние стороны, $α$ - угол между этими соседними сторонами.
  3. Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ - это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$.
  4. $S=p∙r$, где $r$ - радиус вписанной окружности.
  5. $S={a∙b∙c}/{4R}$, где $R$ - радиус описанной окружности.
  6. Для равностороннего треугольника $S={a^{2}√3}/{4}$, где $а$ - длина стороны.
  7. В прямоугольном треугольнике $S={a∙b}/{2}$, где $а,b$ - катеты.



Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла. 

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

  1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
  2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.
  3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)
  4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.
  5. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$. (Рис.14)
  6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями которых являются катеты данного треугольника. (Рис.14)

Один острый угол прямоугольного треугольника на $44°$ больше другого острого угла. Найдите больший острый угол.

Решение:

В прямоугольном треугольнике $АВС$ $∠А$ и $∠В$ – острые.

Пусть $∠ А – х$, тогда $∠ В - (х+44)$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

На основании этого правила, составим и решим уравнение:

$х+х+44=90$

$2х+44=90$

$2х=90-44$

$2х=46$

$х=23$

Угол $В$ больший в этом треугольнике, через $«х»$ он записывался как, $х+44$, следовательно, $∠В=23+44=67°$.

Ответ: $67$



Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. 

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$ 

Для острого угла $В$: $АС$ - противолежащий катет; $ВС$ - прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ - противолежащий катет; $АС$ - прилежащий катет.

  1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
  4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
  5. Основное тригонометрическое тождество: $sin^2x+cos^2x=1$
  6. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
  7. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
  8. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$ $30$ $45$ $60$
$sinα$ ${1}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${√3}/{2}$
$cosα$ ${√3}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${1}/{2}$
$tgα$ ${√3}/{3}$ $1$ $√3$
$ctgα$ $√3$ $1$ ${√3}/{3}$

В треугольнике $АВС$ угол $С$ прямой, гипотенуза равна $39, cos⁡B={5}/{13}$.

Найдите $АС$.

Решение:

Так как нам известен cos угла $В$, то распишем его по определению: косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. В треугольнике $АВС, АВ$ - гипотенуза, которая равна $39$. $CB$ – прилежащий катет к углу $В$.

$cos⁡B={CB}/{AB}={CB}/{39}={5}/{13}$

Из последних двух равенств получаем пропорцию:

${CB}/{39}={5}/{13}$

Для нахождения $CВ$ воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции:

$13∙СВ=5∙39$

Поделим обе части на $13$

$СВ={5∙39}/{13}={5∙3}/{1}=15$

Катет $АС$ найдем по теореме Пифагора.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

$АС^2+15^2=39^2$

$АС^2=39^2-15^2=(39-15)(39+15)=24∙54=1296$

$АС=36$

Ответ: $36$

Твой план подготовки к ЕГЭ 2018 почти готов

Построить свой план

всего за 3 минуты

Как подготовиться к ЕГЭ по математике (профильной)?