Стереометрия. Комбинация тел

Данная тема посвящена задачам на комбинацию пространственных фигур, нахождению элементов вписанных и описанных цилиндров, конусов и сфер.

Рассмотрим объемные тела:

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$а, b$ и $с$ - длина, ширина и высота соответственно;

$P_{осн}$ - периметр основания;

$S_{осн}$ - площадь основания;

$S_{бок}$ - площадь боковой поверхности;

$S_{п.п}$ - площадь полной поверхности;

$V$ - объем.

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

$S_{бок}=P_{осн}·c=2(a+b)·c$ – площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро.

$S_{п.п}=2(ab+bc+ac)$.

$SO$ - высота

Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а ее высота приходит в центр основания (в центр описанной окружности). Все боковые ребра правильной пирамиды равны, следовательно, все боковые грани являются равнобедренными треугольниками.

Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.

$h_a$ - высота боковой грани (апофема)

$S_{бок}={P_{осн}·h_a}/{2}$

$S_{п.п}=S_{бок}+S_{осн}$

$V={1}/{3}S_{осн}·h$

В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:

1. Для равностороннего треугольника $S={a^{2}√3}/{4}$, где $а$ - длина стороны.
2. Квадрат $S=a^2$, где $а$ - сторона квадрата.
3. Правильный шестиугольник.

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

$S=6·S_{треугольника}={6·a^{2}√3}/{4}={3·a^{2}√3}/{2}$, где $а$ - сторона правильного шестиугольника.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:

$S_{бок}=P_{осн}·h$

$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}$

$V=S_{осн}·h$

Объем куба: $V=a^3={d^3}/{3√3}$.

Площадь полной поверхности: $S_{п.п}=6а^2=2d^2$

Радиус сферы, описанной около куба: $R={a√3}/{2}$

Радиус сферы, вписанной в куб: $r={a}/{2}$

Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, на рисунке образующая $L$.

Осевое сечение цилиндра - это прямоугольник, у которого одна сторона равна диаметру основания, а вторая – высоте цилиндра.

Основные понятия и свойства цилиндра:

1. Радиусом цилиндра называется радиус его основания ($R$).
2. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований (в прямом цилиндре высота равна образующим).
3. Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры оснований ($ОО_1$).
4. Если призму вписать в цилиндр, то ее основаниями будут являться равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра, а боковые ребра - образующими цилиндра.
5. Если цилиндр вписан в призму, то ее основания - равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости граней призмы касаются боковой поверхности цилиндра.
6. Если в цилиндр вписана сфера, то радиус сферы равен радиусу цилиндра и равен половине высоте цилиндра.

$R_{сферы}=R_{цилиндра}={h_{цилиндра}}/{2}$

Площадь поверхности и объем цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.

$S_{бок.пов.}=2πR·h$

Площадь поверхности цилиндра равна сумме двух площадей основания и площади боковой поверхности.

$S_{полной.пов.}=2πR^2+2πR·h=2πR(R+h)$

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

$V=πR^2·h$

Связь между сторонами правильного n-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей

$АВ=a_n$ - сторона правильного многоугольника

$R$ - радиус описанной окружности

$r$ - радиус вписанной окружности

$n$ - количество сторон и углов

$a_n=2·R·sin{180°}/{n}$;

$r=R·cos{180°}/{n}$;

$a_n=2·r·tg{180°}/{n}$.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими и обозначаются ($l$).

$l=SA$

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. Ось прямого конуса и его высота равны.

$SО$ - высота и ось конуса.

Свойства конуса:

1. Все образующие конуса равны.

2. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого равно двум радиусам, а боковые стороны равны образующим конуса.

3. Если боковая поверхность конуса – полукруг, то осевым сечением является равносторонний треугольник и угол при вершине осевого сечения равен 60° и радиус основания равен высоте конуса.

$R_{осн}=h$

4. Если конус вписан в сферу, то сфера содержит окружность конуса и его вершину, радиус сферы равен радиусу конуса и равен высоте конуса.

$R_{сферы}=R_{конуса}=h_{конуса}$

5. Если в конус, осевое сечение которого – равносторонний треугольник, вписан шар, то радиус основания конуса в $√3$ раз больше радиуса шара, а высота конуса в $3$ раза больше радиуса шара.

$r=R√3; SO_1=3R$

Площадь поверхности и объем конуса.

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

$S_{бок.пов.}=πR·l$

Площадь поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.

$S_{полной.пов.}=πR^2+πR·l=πR(R+l)$

Объем конуса равен трети произведения площади основания на высоту.

$V={πR^2·h}/{3}$

Осевое сечение шара это круг, радиус которого равен радиусу шара. Осевым сечением является самый большой круг шара.

Площадь поверхности сферы: $S_{п.п}=4π·R^2=π·d^2$, где $R$ - радиус сферы, $d$ - диаметр сферы

Объем шара: $V={4π·R^3}/{3}={π·d^3}/{6}$, где $R$ - радиус шара, $d$ - диаметр шара.

Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело.

Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.

В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.

Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:

Для острого угла $В: АС$ - противолежащий катет; $ВС$ - прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ - противолежащий катет; $АС$ - прилежащий катет.

1. Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Значения тригонометрических функций некоторых углов: