Тригонометрические уравнения

Теория к заданию 12 из ЕГЭ по математике (профиль)

Разбор сложных заданий в тг-канале:

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$ , где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

$1$ радиан $={180}/{π}≈57$ градусов

$1$ градус $={π}/{180}$ радиана

Значения тригонометрических функций некоторых углов

$α$	$0$	${π}/{6}$	${π}/{4}$	${π}/{3}$	${π}/{2}$	$π$
$s i n α$	$0$	${1}/{2}$	${√2}/{2}$	${√3}/{2}$	$1$	$0$
$c o s α$	$1$	${√3}/{2}$	${√2}/{2}$	${1}/{2}$	$0$	$-1$
$t g α$	$0$	${√3}/{3}$	$1$	$√3$	$-$	$0$
$c t g α$	$-$	$√3$	$1$	${√3}/{3}$	$0$	$-$

Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$ , у тангенса и котангенса $π$

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить что:

если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ( $π$ и $2π$ ), то наименование функции не изменяется (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ( $π/2$ и ${3π}/{2}$ ), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
чтобы определить знак в правой части формулы ( $+$ или $-$ ), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Пример:

Преобразовать $сos (90° + α)$ . Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$ , поэтому $c o s$ измениться на $s i n$ .

$сos (90° + α)=sinα$

Чтобы определить знак перед $s i n α$ , предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому перед $s i n α$ нужен знак $-$ .

$сos (90° + α)= - sinα$ - это конечный результат преобразования

Пример:

Вычислить $cos 840°$

У косинуса период повторения $2π$ или $360°$ , мы можем из угла вычитать количество градусов кратное периоду.

$cos 840°=cos(720°+120°)=cos 120°$

По формуле приведения представим $120°$ как $90°+30°$

$cos(90°+30°) = -sin30= - 0.5$

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс, нечетные функции: $sin(-t)= - sin t; tg(-t)= - tg t; ctg(-t)= - ctg t$

Тригонометрические тождества

1. $tgα={sinα}/{cosα}$

2. $ctgα={cosα}/{sinα}$

3. $sin^{2} α+cos^{2} α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

$sinα=±√{1-cos^{2}α}$

$cosα=±√{1-sin^{2} α}$

4. $tgα·ctgα=1$

5. $1+tg^{2} α={1}/{cos^{2} α}$

6. $1+ctg^{2}α={1}/{sin^{2} α}$

Пример:

Вычислить $s i n t$ , если $cos t = {5}/{13} ; t ∈({3π}/{2};2π)$

Найдем $s i n t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈({3π}/{2};2π)$ - это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус.

$sin⁡t=-√{1-cos^{2} t}=-√{1-{25}/{169}}=-√{{144}/{169}}=-{12}/{13}$

Ответ: $-{12}/{13}$

Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения.

Арккосинус

Если, $|а|≤1$ , то $a r c c o s а$ – это такое число из отрезка $[0;π]$ , косинус которого равен $а$ .

Если, $|а|≤1$ , то $arccos а = t {⇔}↙{∷} \{\table\cost=a; \0≤t≤π;$

$arcos(-a) = π-arccos⁡a$ , где $0≤а≤1$

Уравнение вида $cos t=a$ , eсли, $|а|≤1$ , имеет решение

$t=±arccosa+2πk;k∈Z$

Частные случаи

$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$

$cos t = 0, t = {π}/{2}+πk;k∈Z$

$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$

Пример:

Найдите наименьший положительный корень уравнения сos ${2πx}/{3}=-{√3}/{2}$

$сos{2πx}/{3}=-{√3}/{2}$

${2πx}/{3}=±arccos⁡(-{√3}/{2})+2πk;kϵZ$

${2πx}/{3}=±(π-arccos⁡ ({√3}/{2}))+2πk;kϵZ$

${2πx}/{3}=±(π-{π}/{6})+2πk;kϵZ$

${2πx}/{3}=±{5π}/{6}+2πk;kϵZ$

Далее избавимся от всех величин, мешающих иксу. Для этого разделим обе части уравнения на ${2π}/{3}$

$x=±{5π·3}/{6·2π}+{2π·3}/{2π}k$

$x=±1.25+3k$

Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим вместо к целые значения

$k=0$

$x_1= -1.25$

$x_2=1.25$

$k=1$

$х_1=3-1.25=1.75$

$х_2=3+1.25=4.25$

Нам подходит $1.25$ – это и есть результат

Ответ: $1.25$

Арксинус

Если, $|а|≤1$ , то $a r c s i n a$ – это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$ , синус которого равен $а$ .

Если, $|а|≤1$ , то $arcsin a = t {⇔}↙{∷} \{\table\sint=a; \-{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$

$arcsin(-a)= - arcsin a$ , где $0≤а≤1$

Если, $|а|≤1$ , то уравнение $sin t =a$ можно решить и записать двумя способами:

1. $t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$

$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$

2. $t=(-1)^{n}arcsin⁡a+πn; n∈Z$

Частные случаи

$sin t = 0, t=πk;k∈Z$

$sin t = 1, t={π}/{2}+2πk;k∈Z$

$sin t = -1,t=-{π}/{2}+2πk;k∈Z$

Арктангенс

$a r c t g a$ - это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$ , тангенс которого равен $а .$

$arctg a = t {⇔}↙{∷} \{\table\tg t=a; \-{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$

$arctg(-a)= - arctg a$

Уравнение $tg t = a$ имеет решение $t= arctg a+πk;k∈Z$

Практика: решай 12 задание и тренировочные варианты ЕГЭ по математике (профиль)

<< Стереометрия. Комбинация тел

Уравнения >>

Составим твой персональный план подготовки к ЕГЭ

Хочу!

Тригонометрические уравнения

Теория к заданию 12 из ЕГЭ по математике (профиль)

Четность тригонометрических функций

Тригонометрические тождества

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения.

Арккосинус

Арксинус

Арктангенс

Бесплатный интенсив по математике (профиль)

Составим твой персональный план подготовки к ЕГЭ

Начни онлайн-курс ЕГЭ по математике (профиль) прямо сейчас