Тригонометрические уравнения
Теория к заданию 12 из ЕГЭ по математике (профиль)
Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.
Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.
$1$ радиан $={180}/{π}≈57$ градусов
$1$ градус$={π}/{180}$ радиана
Значения тригонометрических функций некоторых углов
| $α$ | $0$ | ${π}/{6}$ | ${π}/{4}$ | ${π}/{3}$ | ${π}/{2}$ | $π$ |
| $sinα$ | $0$ | ${1}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${√3}/{2}$ | $1$ | $0$ |
| $cosα$ | $1$ | ${√3}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${1}/{2}$ | $0$ | $-1$ |
| $tgα$ | $0$ | ${√3}/{3}$ | $1$ | $√3$ | $-$ | $0$ |
| $ctgα$ | $-$ | $√3$ | $1$ | ${√3}/{3}$ | $0$ | $-$ |
- Периоды повтора значений тригонометрических функций
Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$
- Знаки тригонометрических функций по четвертям
Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.
Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить что:
- если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ($π/2$ и ${3π}/{2}$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
- чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.
Пример:
Преобразовать $сos (90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.
$сos (90° + α)=sinα$
Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому перед $sinα$ нужен знак $-$.
$сos (90° + α)= - sinα$ - это конечный результат преобразования
Пример:
Вычислить $cos 840°$
У косинуса период повторения $2π$ или $360°$, мы можем из угла вычитать количество градусов кратное периоду.
$cos 840°=cos(720°+120°)=cos 120°$
По формуле приведения представим $120°$ как $90°+30°$
$cos(90°+30°) = -sin30= - 0.5$
Четность тригонометрических функций
Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$
Синус, тангенс и котангенс, нечетные функции: $sin(-t)= - sin t; tg(-t)= - tg t; ctg(-t)= - ctg t$
Тригонометрические тождества
1. $tgα={sinα}/{cosα}$
2. $ctgα={cosα}/{sinα}$
3. $sin^{2} α+cos^{2} α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)
Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса
$sinα=±√{1-cos^{2}α}$
$cosα=±√{1-sin^{2} α}$
4. $tgα·ctgα=1$
5. $1+tg^{2} α={1}/{cos^{2} α}$
6. $1+ctg^{2}α={1}/{sin^{2} α}$
Пример:
Вычислить $sin t$, если $cos t = {5}/{13} ; t ∈({3π}/{2};2π)$
Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈({3π}/{2};2π)$ - это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус.
$sint=-√{1-cos^{2} t}=-√{1-{25}/{169}}=-√{{144}/{169}}=-{12}/{13}$
Ответ: $-{12}/{13}$
Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения.
Арккосинус
Если, $|а|≤1$, то $arccos а$ – это такое число из отрезка $[0;π]$, косинус которого равен $а$.
Если, $|а|≤1$, то $arccos а = t {⇔}↙{∷} \{\table\cost=a; \0≤t≤π;$
$arcos(-a) = π-arccosa$, где $0≤а≤1$
Уравнение вида $cos t=a$, eсли, $|а|≤1$, имеет решение
$t=±arccosa+2πk;k∈Z$
Частные случаи
$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$
$cos t = 0, t = {π}/{2}+πk;k∈Z$
$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$
Пример:
Найдите наименьший положительный корень уравнения сos ${2πx}/{3}=-{√3}/{2}$
$сos{2πx}/{3}=-{√3}/{2}$
${2πx}/{3}=±arccos(-{√3}/{2})+2πk;kϵZ$
${2πx}/{3}=±(π-arccos ({√3}/{2}))+2πk;kϵZ$
${2πx}/{3}=±(π-{π}/{6})+2πk;kϵZ$
${2πx}/{3}=±{5π}/{6}+2πk;kϵZ$
Далее избавимся от всех величин, мешающих иксу. Для этого разделим обе части уравнения на ${2π}/{3}$
$x=±{5π·3}/{6·2π}+{2π·3}/{2π}k$
$x=±1.25+3k$
Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим вместо к целые значения
$k=0$
$x_1= -1.25$
$x_2=1.25$
$k=1$
$х_1=3-1.25=1.75$
$х_2=3+1.25=4.25$
Нам подходит $1.25$ – это и есть результат
Ответ: $1.25$
Арксинус
Если, $|а|≤1$, то $arcsin a$ – это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, синус которого равен $а$.
Если, $|а|≤1$, то $arcsin a = t {⇔}↙{∷} \{\table\sint=a; \-{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$
$arcsin(-a)= - arcsin a$, где $0≤а≤1$
Если, $|а|≤1$, то уравнение $sin t =a$ можно решить и записать двумя способами:
1. $t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$
$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$
2. $t=(-1)^{n}arcsina+πn; n∈Z$
Частные случаи
$sin t = 0, t=πk;k∈Z$
$sin t = 1, t={π}/{2}+2πk;k∈Z$
$sin t = -1,t=-{π}/{2}+2πk;k∈Z$
Арктангенс
$arctg a$ - это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, тангенс которого равен $а.$
$arctg a = t {⇔}↙{∷} \{\table\tg t=a; \-{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$
$arctg(-a)= - arctg a$
Уравнение $tg t = a$ имеет решение $t= arctg a+πk;k∈Z$
