Производная
Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:
$f'(x_0)={lim}↙{△x→0}{△f(x_0)}/{△x}$
Дифференцированием называют операцию нахождения производной.
Таблица производных некоторых элементарных функций
| Функция | Производная |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ |
| ${1}/{x}$ | $-{1}/{x^2}$ |
| $√x$ | ${1}/{2√x}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | ${1}/{x}$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | ${1}/{cos^2x}$ |
| $ctgx$ | $-{1}/{sin^2x}$ |
Основные правила дифференцирования
1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных
$(f(x) ± g(x))'= f'(x)±g'(x)$
Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$
Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.
$f'(x) = (3x^5 )'-(cos x)' + ({1}/{x})' = 15x^4 + sinx - {1}/{x^2}$
2. Производная произведения
$(f(x) · g(x))'= f'(x) · g(x)+ f(x) · g(x)'$
Найти производную $f(x)=4x·cosx$
$f'(x)=(4x)'·cosx+4x·(cosx)'=4·cosx-4x·sinx$
3. Производная частного
$({f(x)}/{g(x)})'={f'(x)·g(x)-f(x)·g(x)'}/{g^2(x)}$
Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$
$f'(x)={(5x^5)'·e^x-5x^5·(e^x)'}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$
4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции
$f(g(x))'=f'(g(x))·g'(x)$
$f(x)= cos(5x)$
$f'(x)=cos'(5x)·(5x)'=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$
Физический смысл производной
Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.
$v(t) = x'(t)$
Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?
Решение:
1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции
$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$
2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:
$3t-3 = 12$
$3t = 15$
$t = 5$
Ответ: $5$
Геометрический смысл производной
Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.
$k = tgα$
Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:
$f'(x_0) = k$
Следовательно, можем составить общее равенство:
$f'(x_0) = k = tgα$
На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f '(x_0) = 0$, называется экстремумом.
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
Решение:
Касательная к графику возрастает, следовательно, $f'(x_0) = tg α > 0$
Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.
Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)
$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$
$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$
Ответ: $0,25$
Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:
Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.
Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.
В ответ запишите количество данных точек.
Решение:
Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция $f (x)$ убывает. Поэтому, выделим на рисунке интервалы, на которых функция убывает.
В выделенных интервалах находятся точки $х_2, х_4$. В ответ напишем их количество $2$.
Ответ: $2$
