Производная. Геометрический смысл

Геометрический смысл производной

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $\mathit{y}=\mathit{k}\mathit{x}+\mathit{b}$, где $\mathit{k}$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $\mathit{k}$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $\mathit{О}\mathit{х}$.

$\mathit{k}=\mathit{t}\mathit{g}\mathit{\alpha }$

Производная функции $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)$ в точке ${\mathit{х}}_0$ равна угловому коэффициенту $\mathit{k}$ касательной к графику в данной точке:

$\mathit{f}\prime \left({\mathit{x}}_0\right)=\mathit{k}$

Следовательно, можем составить общее равенство:

$\mathit{f}\prime \left({\mathit{x}}_0\right)=\mathit{k}=\mathit{t}\mathit{g}\mathit{\alpha }$

На рисунке касательная к функции $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)$ возрастает, следовательно, коэффициент $\mathit{k}>0$. Так как $\mathit{k}>0$, то $\mathit{f}\prime \left({\mathit{x}}_0\right)=\mathit{t}\mathit{g}\mathit{\alpha }>0$. Угол $\mathit{\alpha }$ между касательной и положительным направлением $\mathit{О}\mathit{х}$ острый.

На рисунке касательная к функции $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)$ убывает, следовательно, коэффициент , следовательно, . Угол $\mathit{\alpha }$ между касательной и положительным направлением оси $\mathit{О}\mathit{х}$ тупой.

На рисунке касательная к функции $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)$ параллельна оси $\mathit{О}\mathit{х}$, следовательно, коэффициент $\mathit{k}=0$, следовательно, $\mathit{f}\prime \left({\mathit{x}}_0\right)=\mathit{t}\mathit{g}\mathit{\alpha }=0$. Точка ${\mathit{x}}_0$, в которой $\mathit{f}\prime \left({\mathit{x}}_0\right)=0$, называется экстремумом.