ЕГЭ по математике (профиль) 2025
/
Теория по математике (профиль)
/
Теория по теме «Производная. Дифференцирование, физический смысл производной»
/

Производная. Дифференцирование, физический смысл производной

Теория к заданию 7 из ЕГЭ по математике (профиль)

Разбор сложных заданий в тг-канале:

Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:

$f'(x_0)={lim}↙{△x→0}{△f(x_0)}/{△x}$

Дифференцированием называют операцию нахождения производной.

Таблица производных некоторых элементарных функций

Функция	Производная
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$nx^{n-1}$
${1}/{x}$	$-{1}/{x^2}$
$√x$	${1}/{2√x}$
$e^x$	$e^x$
$l n x$	${1}/{x}$
$s i n x$	$c o s x$
$c o s x$	$-sinx$
$t g x$	${1}/{cos^2x}$
$c t g x$	$-{1}/{sin^2x}$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

$(f(x) ± g(x))'= f'(x)±g'(x)$

Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$

Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.

$f'(x) = (3x^5 )'-(cos x)' + ({1}/{x})' = 15x^4 + sinx - {1}/{x^2}$

2. Производная произведения

$(f(x) · g(x))'= f'(x) · g(x)+ f(x) · g(x)'$

Найти производную $f(x)=4x·cosx$

$f'(x)=(4x)'·cosx+4x·(cosx)'=4·cosx-4x·sinx$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})'={f'(x)·g(x)-f(x)·g(x)'}/{g^2(x)}$

Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$

$f'(x)={(5x^5)'·e^x-5x^5·(e^x)'}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))'=f'(g(x))·g'(x)$

$f(x)= cos(5x)$

$f'(x)=cos'(5x)·(5x)'=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Физический смысл производной

Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$ , то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.

$v(t) = x'(t)$

Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$ , где $x(t)$ — координата в момент времени $t$ . В какой момент времени скорость точки будет равна $12$ ?

Решение:

1. Скорость – это производная от $x(t)$ , поэтому найдем производную заданной функции

$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$

2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$ , составим и решим уравнение:

$3t-3 = 12$

$3t = 15$

$t = 5$

Ответ: $5$

Практика: решай 7 задание и тренировочные варианты ЕГЭ по математике (профиль)

<< Планиметрия. Вписанная и описанная окружность

Производная. Геометрический смысл >>

Составим твой персональный план подготовки к ЕГЭ

Хочу!

Производная. Дифференцирование, физический смысл производной

Теория к заданию 7 из ЕГЭ по математике (профиль)

Основные правила дифференцирования

Физический смысл производной

Бесплатный интенсив по математике (профиль)

Составим твой персональный план подготовки к ЕГЭ

Начни онлайн-курс ЕГЭ по математике (профиль) прямо сейчас