Регистрация Войти
Все для самостоятельной подготовки к ЕГЭ

Готовься к ЕГЭ по персональному плану, следи за своим прогрессом, устраняй пробелы, выполняй квесты и получай награды

или
Войти через Вконтакте
Регистрируясь, я принимаю условия пользовательского соглашения
Русский язык
Математика
Обществознание
Физика
История
Биология
Химия
Информатика
География
ОГЭ

Окружности и её элементы

Окружность и ее элементы

Окружность - это фигура, которая состоит из множества точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

 

Отрезок, соединяющий любую точку на окружности с центром окружности, называется радиусом $(R)$.

$ОС=OD=OE=R$.

Отрезок, соединяющий любые две точки на окружности, называется хордой, а хорда, проходящая через центр, - диаметром $(d)$.

$АВ$ и $ВС$ – хорды.

$СЕ$ - диаметр.

Свойства хорды и диаметра:

1. Диаметр равен двум радиусам $d=2R$; $СЕ=2СО$ 

2. Равные хорды стягивают равные дуги


Если $AB=CD$, то $∪AB=∪CD$.

3. Вся окружность составляет $360°$. Диаметр делит окружность на две полуокружности по $180°$.

4. Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен этой хорде.

5. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду и стягиваемые ею дуги пополам.

$DC⊥AB, AM=MB, ∪AC=∪CB$ 


6. Хорды окружности, удаленные от центра на равные расстояния, равны.

7. Из двух хорд больше та, которая менее отдалена от центра.



Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сектором. 

Число $π≈3,14$

Длина окружности: $C=2πR=πD$

Длина дуги окружности: $l={Cα}/{360}={2πRα}/{360}={πRα}/{180}$, где $α$ - это градусная мера центрального угла, опирающегося на заданную дугу.

Площадь круга: $S=πR^2$

Площадь сектора: $S={S_{круга}n°}/{360}={πR^{2}n°}/{360}$, где $n°$ - это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.

Площадь кольца: $S_{кольца}=S_{внешнего круга}-S_{внутреннего круга}=πR^2-πr^2=π(R^2-r^2)$

Найдите площадь сектора с углом в $36°$ и радиусом $16$. В ответе укажите ${S}/{π}$

Решение:

Площадь сектора равна:

$S={S_{круга}n°}/{360}={πR^{2}n°}/{360}$

$n°$ - это градусная мера угла сектора

$S={π∙16^2∙36°}/{360°}={π∙256∙36°}/{360°}$

Сокращаем полученную дробь на $36$

$S={π∙256}/{10}$

Данную дробь легко перевести в десятичную дробь, необходимо просто с конца числа $256$ отделить один знак.

$S=25,6π$

В результате надо указать ${S}/{π}$, следовательно, ${S}/{π}={25,6π}/{π}=25,6$

Ответ: $25,6$

Касательные и секущие:

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной. $АВ$ - касательная 

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей. $CD$ - секущая 

Свойства:

1. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. $ОА⊥АС$; $OB⊥BC$ 

2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

$АС=ВС$; $ОС$ - биссектриса 

3. Если из точки к окружности проведены секущая и касательная , то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной

$AB∙DB=BC^2$ 


4. Если из одной точки к окружности проведены две секущие, то произведение первой секущей на ее внешнюю часть равно произведению второй секущей на ее внешнюю часть.

$BD∙AB=BE∙CB$ 

Вписанные и описанные окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность. Центром вписанной окружности (точка $О$) является точка пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.

$OD$ – это радиус $(r)$ вписанной окружности

$r={2S_{ABC}}/{a+b+c}$ 

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности

$S={P∙r}/{2}$

В равнобедренном треугольнике вписанная окружность точкой касания делит основание пополам 

Пример:

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны $10$ и $4$, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Изобразим треугольник $АВС$. Окружность касается боковой стороны $CD$ в точке $М$.

$СМ=10, МВ=4$, тогда вся сторона $СВ=14$.

Так треугольник $АВС$ равнобедренный, то $СВ=АС=14$

Стороны треугольника для окружности являются касательными. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. $МВ=ВН=4$

В равнобедренном треугольнике вписанная окружность точкой касания делит основание пополам, следовательно, $АН=НВ=4$. Вся сторона $АВ=8$.

Все стороны треугольника найдены, теперь можем найти периметр:

$Р=14+14+8=36$

Ответ: $36$

В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности равен трети высоты данного треугольника.

$r={h}/{3}$

В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен:

$r={a+b-c}/{2}$, где $а$ и $b$ – это катеты, $с$ – гипотенуза



Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. 

$АВ+CD=BC+AD$

Площадь любого многоугольника можно найти как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности.

$S={P∙r}/{2}$

Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Центром описанной окружности является точка $(О)$ пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

$ОА$ - радиус описанной окружности $(R)$

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен две трети высоты данного треугольника.

$R={2h}/{3}$



В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы и радиус равен половине гипотенузы.

Радиус описанной окружности можно найти как:

$R={a}/{2sin⁡A}={b}/{2sin⁡B}={c}/{2sin⁡C}$;

$R={a∙b∙c}/{4S}$, где $S$ - это площадь заданного треугольника

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Если сумма

противоположных углов четырехугольника равна $180°$, то только тогда около него можно описать окружность. 

$∠В+∠D=180°$

$∠A+∠C=180°$

В прямоугольнике и квадрате центр описанной окружности лежит в точке пересечения диагоналей, а радиус описанной окружности равен половине диагонали.

$R={d}/{2}$

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы

равны.

Связь между сторонами правильного n-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей:

$АВ=an$ - сторона правильного многоугольника

$R$ - радиус описанной окружности

$r$ - радиус вписанной окружности

$n$ - количество сторон и углов

$a_n=2Rsin{180°}/{n};$

$r=Rcos{180°}/{n};$

$a_n=2rtg{180°}/{n}.$

Углы в окружности:

1. Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. 

$∠О=∪BmA$

2. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. 

$∠B={∪AmC}/{2}$

3. Угол между хордой и касательной равен половине дуги, заключенной внутри него. 

$∠B={∪BmC}/{2}$

Твой план подготовки к ЕГЭ 2017 почти готов

Построить свой план

всего за 3 минуты

Как подготовиться к ЕГЭ по математике (профильной)?