Планиметрия. Вписанная и описанная окружность

$\mathit{O}\mathit{D}$ – это радиус $\left(\mathit{r}\right)$ вписанной окружности

$\mathit{r}=\frac{2{\mathit{S}}_{\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}}}{\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}}$

$\mathit{S}=\frac{\mathit{P}\bullet \mathit{r}}{2}$

В равнобедренном треугольнике вписанная окружность точкой касания делит основание пополам

В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности равен трети высоты данного треугольника.

$\mathit{r}=\frac{\mathit{h}}{3}$

В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен:

$\mathit{r}=\frac{\mathit{a}+\mathit{b}-\mathit{c}}{2}$, где $\mathit{а}$ и $\mathit{b}$ – это катеты, $\mathit{с}$ – гипотенуза.

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

$\mathit{А}\mathit{В}+\mathit{C}\mathit{D}=\mathit{B}\mathit{C}+\mathit{A}\mathit{D}$

В трапеции и ромбе центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов, радиус вписанной окружности равен половине высоты.

$\mathit{r}=\frac{\mathit{h}}{2}$

В квадрате радиус вписанной окружности равен половине стороны.

$\mathit{r}=\frac{\mathit{a}}{2}$

Площадь любого многоугольника можно найти как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности.

$\mathit{S}=\frac{\mathit{P}\bullet \mathit{r}}{2}$

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник- вписанным в эту окружность.

Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Центром описанной окружности является точка $\left(\mathit{О}\right)$ пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

$\mathit{О}\mathit{А}$ - радиус описанной окружности $\left(\mathit{R}\right)$

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен две трети высоты данного треугольника.

$\mathit{R}=\frac{2\mathit{h}}{3}$

Центр описанной окружности может находиться в различных положениях относительно треугольника:

1. В остроугольном треугольнике центр описанной окружности лежит внутри треугольника.

2. В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит снаружи треугольника.

3. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы и радиус равен половине гипотенузы.

$\mathit{R}=\frac{\mathit{c}}{2}$

Радиус описанной окружности можно найти как:

$\mathit{R}=\frac{\mathit{a}}{2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{A}}=\frac{\mathit{b}}{2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{B}}=\frac{\mathit{c}}{2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{C}};$

$\mathit{R}=\frac{\mathit{a}\bullet \mathit{b}\bullet \mathit{c}}{4\mathit{S}}$, где $\mathit{S}$ - это площадь заданного треугольника.

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180°$, то только тогда около него можно описать окружность.

$\angle \mathit{В}+\angle \mathit{D}=180°$

$\angle \mathit{A}+\angle \mathit{C}=180°$

В прямоугольнике и квадрате центр описанной окружности лежит в точке пересечения диагоналей, а радиус описанной окружности равен половине диагонали.

$\mathit{R}=\frac{\mathit{d}}{2}$

Только вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.

Связь между сторонами правильного n-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей:

$\mathit{А}\mathit{В}=\mathit{a}\mathit{n}$ - сторона правильного многоугольника

$\mathit{R}$ - радиус описанной окружности

$\mathit{r}$ - радиус вписанной окружности

$\mathit{n}$ - количество сторон и углов

${\mathit{a}}_{\mathit{n}}=2\bullet \mathit{R}\bullet \mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\frac{180°}{\mathit{n}};$

$\mathit{r}=\mathit{R}\bullet \mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\frac{180°}{\mathit{n}};$

${\mathit{a}}_{\mathit{n}}=2\bullet \mathit{r}\bullet \mathit{t}\mathit{g}\frac{180°}{\mathit{n}}.$

Углы в окружности:

1. Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается

$\angle \mathit{О}=\cup \mathit{B}\mathit{m}\mathit{A}$

2. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается

$\angle \mathit{B}=\frac{\cup \mathit{A}\mathit{m}\mathit{C}}{2}$

3. Угол между хордой и касательной равен половине дуги, заключенной внутри него.

$\angle \mathit{B}=\frac{\cup \mathit{B}\mathit{m}\mathit{C}}{2}$