Планиметрия. Вписанная и описанная окружность
Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник- описанным около этой окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность. Центром вписанной окружности (точка $О$) является точка пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.
$OD$ – это радиус $(r)$ вписанной окружности
$r={2S_{ABC}}/{a+b+c}$
Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.
$S={P∙r}/{2}$
В равнобедренном треугольнике вписанная окружность точкой касания делит основание пополам
В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности равен трети высоты данного треугольника.
$r={h}/{3}$
В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен:
$r={a+b-c}/{2}$, где $а$ и $b$ – это катеты, $с$ – гипотенуза.
Пример:
В прямоугольном треугольнике $АВС$ катет и гипотенуза соответственно равны $8$ и $10$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Решение:
В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен:
$r={a+b-c}/{2}$, где $а$ и $b$ – это катеты, $с$ – гипотенуза.
Нам неизвестен один из катетов, найдем его по теореме Пифагора:
$a^2+b^2=c^2$
$8^2+b^2=10^2$
$64+b^2=100$
$b^2=100-64$
$b^2=36$
$b=6$
Теперь подставим все величины в формулу нахождения радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:
$r={6+8-10}/{2}={4}/{2}=2$
Ответ: $2$
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
$АВ+CD=BC+AD$
В трапеции и ромбе центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов, радиус вписанной окружности равен половине высоты.
$r={h}/{2}$
В квадрате радиус вписанной окружности равен половине стороны.
$r={a}/{2}$
Площадь любого многоугольника можно найти как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности.
$S={P∙r}/{2}$
Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник- вписанным в эту окружность.
Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Центром описанной окружности является точка $(О)$ пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
$ОА$ - радиус описанной окружности $(R)$
В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен две трети высоты данного треугольника.
$R={2h}/{3}$
Центр описанной окружности может находиться в различных положениях относительно треугольника:
1. В остроугольном треугольнике центр описанной окружности лежит внутри треугольника.
2. В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит снаружи треугольника.
3. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы и радиус равен половине гипотенузы.
$R={c}/{2}$
Радиус описанной окружности можно найти как:
$R={a}/{2sinA}={b}/{2sinB}={c}/{2sinC};$
$R={a∙b∙c}/{4S}$, где $S$ - это площадь заданного треугольника.
Около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180°$, то только тогда около него можно описать окружность.
$∠В+∠D=180°$
$∠A+∠C=180°$
В прямоугольнике и квадрате центр описанной окружности лежит в точке пересечения диагоналей, а радиус описанной окружности равен половине диагонали.
$R={d}/{2}$
Только вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.
Связь между сторонами правильного n-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей:
$АВ=an$ - сторона правильного многоугольника
$R$ - радиус описанной окружности
$r$ - радиус вписанной окружности
$n$ - количество сторон и углов
$a_n=2∙R∙sin{180°}/{n};$
$r=R∙cos{180°}/{n};$
$a_n=2∙r∙tg{180°}/{n}.$
Углы в окружности:
1. Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается
$∠О=∪BmA$
2. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается
$∠B={∪AmC}/{2}$
3. Угол между хордой и касательной равен половине дуги, заключенной внутри него.
$∠B={∪BmC}/{2}$
