Планиметрия. Задачи на окружности
Касательные, секущие, хорды.
Окружность - это фигура, которая состоит из множества точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).
Отрезок, соединяющий любую точку на окружности с центром окружности, называется радиусом ($R$).
$ОС=OD=OE=R.$
Отрезок, соединяющий любые две точки на окружности, называется хордой, а хорда, проходящая через центр, - диаметром ($d$).
$ВС$ – хорда
$СЕ$ - диаметр
Свойства хорды и диаметра:
1. Диаметр равен двум радиусам $d=2R; СЕ=2СО$
2. Равные хорды стягивают равные дуги
Если $AB=CD$, то $∪AB=∪CD$.
3.Вся окружность составляет $360°$. Диаметр делит окружность на две полуокружности по $180°$.
4. Хорды окружности, удаленные от центра на равные расстояния, равны.
5. Из двух хорд больше та, которая менее отдалена от центра.
Касательные и секущие:
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной. $АВ$ - касательная
Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей. $CD$ - секущая
Свойства:
1. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
$ОА⊥АС; OB⊥BC$
2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
$АС=ВС; ОС$ - биссектриса
3. Если хорды $АС$ и $BD$ пересекаются в некоторой точке $N$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
$AN·NC=BN·ND$
Пример:
Хорды $АВ$ и $CD$ пересекаются в точке $Е$. Найдите $ЕD$, если $АЕ=16, ВЕ=9, СЕ=ED$.
Решение:
Если хорды $АВ$ и $СD$ пересекаются в некоторой точке $Е$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
$AЕ·ЕВ=СЕ·ЕD$
Так как $СЕ=ED$, данное выражение можно записать в виде:
$ЕD^2=AЕ·ЕВ$
Подставим числовые значения
$ЕD^2=16·9$
$ЕD=√{16·9}=4·3=12$
Ответ: $12$
4. Если из одной точки к одной окружности проведены две секущие, то произведение первой секущей на ее внешнюю часть равно произведению второй секущей на свою внешнюю часть.
$АС·ВС=EC·DC$
5. Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату длины касательной.
$BD·СB=AB^2$
Углы в окружности:
1. Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается
$∠О=∪BmA$
2. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается
$∠B={∪AmC}/{2}$
Пример:
Точки $A, B, C$, расположенные на окружности, делят её на три дуги, градусные меры которых относятся как $2:3:7$. Найдите больший угол треугольника $ABC$. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Данное условие можно рассмотреть как задачу на части:
1) Найдем общее количество частей, на которые разделили окружность.
$2+3+7=12$ (всего частей)
2) Найдем, сколько градусов приходится на одну часть
$360:12=30°$
3) $∪АВ$ составляет две части, следовательно, $∪АВ=2·30=60°$
$∪АС=3·30=90°$
$∪СВ=7·30=210°$
4) В треугольнике $АВС$ самым большим углом является $∠А$, он вписанный, опирается на дугу $СВ$ и равен ее половине.
$∠А={∪СВ}/{2}={210}/{2}=105°$
Ответ: $105$
3. Угол между хордой и касательной равен половине дуги, отсекаемой хордой .
$∠B={∪BmC}/{2}$
1. Угол между хордами равен полусумме дуг, на которые этот угол опирается
$∠СND={∪CD+∪AB}/{2}$
2. Угол между двумя касательными равен полуразности дуг, заключенных внутри угла.
$∠В={∪АmC-∪AnC}/{2}$
3. Угол между двумя секущими равен полуразности дуг, заключенных внутри угла.
$∠С={∪AE-∪BD}/{2}$
4. Угол между касательной и секущей равен полуразности дуг, заключенных внутри угла.
$∠B={∪AD-∪AC}/{2}$
