ЕГЭ по математике (профиль) 2025
/
Теория по математике (профиль)
/
Теория по теме «Планиметрия. Задачи на окружности»
/

Планиметрия. Задачи на окружности

Разбор сложных заданий в тг-канале:

Касательные, секущие, хорды.

Окружность - это фигура, которая состоит из множества точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

Отрезок, соединяющий любую точку на окружности с центром окружности, называется радиусом ( $R$ ).

$ОС=OD=OE=R.$

Отрезок, соединяющий любые две точки на окружности, называется хордой, а хорда, проходящая через центр, - диаметром ( $d$ ).

$В С$ – хорда

$С Е$ - диаметр

Свойства хорды и диаметра:

1. Диаметр равен двум радиусам $d=2R; СЕ=2СО$

2. Равные хорды стягивают равные дуги

Если $AB=CD$ , то $∪AB=∪CD$ .

3.Вся окружность составляет $360°$ . Диаметр делит окружность на две полуокружности по $180°$ .

4. Хорды окружности, удаленные от центра на равные расстояния, равны.

5. Из двух хорд больше та, которая менее отдалена от центра.

Касательные и секущие:

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной. $А В$ - касательная

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей. $C D$ - секущая

Свойства:

1. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

$ОА⊥АС; OB⊥BC$

2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

$АС=ВС; ОС$ - биссектриса

3. Если хорды $А С$ и $B D$ пересекаются в некоторой точке $N$ , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

$AN·NC=BN·ND$

Пример:

Хорды $А В$ и $C D$ пересекаются в точке $Е$ . Найдите $Е D$ , если $АЕ=16, ВЕ=9, СЕ=ED$ .

Решение:

Если хорды $А В$ и $С D$ пересекаются в некоторой точке $Е$ , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

$AЕ·ЕВ=СЕ·ЕD$

Так как $СЕ=ED$ , данное выражение можно записать в виде:

$ЕD^2=AЕ·ЕВ$

Подставим числовые значения

$ЕD^2=16·9$

$ЕD=√{16·9}=4·3=12$

Ответ: $12$

4. Если из одной точки к одной окружности проведены две секущие, то произведение первой секущей на ее внешнюю часть равно произведению второй секущей на свою внешнюю часть.

$АС·ВС=EC·DC$

5. Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату длины касательной.

$BD·СB=AB^2$

Углы в окружности:

1. Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается

$∠О=∪BmA$

2. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается

$∠B={∪AmC}/{2}$

Пример:

Точки $A, B, C$ , расположенные на окружности, делят её на три дуги, градусные меры которых относятся как $2:3:7$ . Найдите больший угол треугольника $A B C$ . Ответ дайте в градусах.

Решение:

Данное условие можно рассмотреть как задачу на части:

1) Найдем общее количество частей, на которые разделили окружность.

$2+3+7=12$ (всего частей)

2) Найдем, сколько градусов приходится на одну часть

$360:12=30°$

3) $∪АВ$ составляет две части, следовательно, $∪АВ=2·30=60°$

$∪АС=3·30=90°$

$∪СВ=7·30=210°$

4) В треугольнике $А В С$ самым большим углом является $∠А$ , он вписанный, опирается на дугу $С В$ и равен ее половине.

$∠А={∪СВ}/{2}={210}/{2}=105°$

Ответ: $105$

3. Угол между хордой и касательной равен половине дуги, отсекаемой хордой .

$∠B={∪BmC}/{2}$

1. Угол между хордами равен полусумме дуг, на которые этот угол опирается

$∠СND={∪CD+∪AB}/{2}$

2. Угол между двумя касательными равен полуразности дуг, заключенных внутри угла.

$∠В={∪АmC-∪AnC}/{2}$

3. Угол между двумя секущими равен полуразности дуг, заключенных внутри угла.

$∠С={∪AE-∪BD}/{2}$

4. Угол между касательной и секущей равен полуразности дуг, заключенных внутри угла.

$∠B={∪AD-∪AC}/{2}$

Практика: решай 1 задание и тренировочные варианты ЕГЭ по математике (профиль)

<< Планиметрия. Четырехугольники

Планиметрия. Вписанная и описанная окружность >>

Составим твой персональный план подготовки к ЕГЭ

Хочу!