ЕГЭ по математике (профиль) 2025
/
Теория по математике (профиль)
/
Теория по теме «Тригонометрия. Простейшие уравнения»
/

Тригонометрия. Простейшие уравнения

Разбор сложных заданий в тг-канале:

Посмотреть

Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения

Арккосинус

Если, $|а|≤1$ , то $a r c c o s а$ – это такое число из отрезка $[0;π]$ , косинус которого равен $а$ .

Если, $|а|≤1$ , то $arccos а = t ⇔ \{\table \cos (t)=a; \0≤t≤π;$

$arcos(-a) = π-arccos⁡a$ , где $0≤а≤1$

Уравнение вида $cos t=a$ , eсли, $|а|≤1$ , имеет решение

$t=±arccos ⁡ a+2πk; k∈Z$

Частные случаи

$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$

$cos t = 0, t = {π}/{2}+πk;k∈Z$

$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$

Найдите наименьший положительный корень уравнения $сos{2πx}/{3}=-{√3}/{2}$

$сos{2πx}/{3}=-{√3}/{2}$

${2πx}/{3}=±arccos⁡(-{√3}/{2})+2πk;kϵZ$

${2πx}/{3}=±(π-arccos{√3}/{2})+2πk;kϵZ$

${2πx}/{3}=±(π-{π}/{6})+2πk;kϵZ$

${2πx}/{3}=±{5π}/{6} +2πk;kϵZ$

Далее избавимся от всех величин, мешающих иксу. Для этого разделим обе части уравнения на ${2π}/{3}$

$x=±{5π·3}/{6·2π} +{2π·3}/{2π}k$

$x=±1,25+3k$

Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим вместо $k$ целые значения

$k=0$

$x_1= -1,25$

$x_2=1,25$

$к=1$

$х_1=3-1,25=1,75$

$х_2=3+1,25=4,25$

Нам подходит $1,25$ – это и есть результат

Ответ: $1,25$

Арксинус

Если, $|а|≤1$ , то $a r c s i n a$ – это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$ , синус которого равен $а$ .

Если, $|а|≤1$ , то $arcsin a = t ⇔ \{\table \sint=a; \-{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$

$arcsin(-a)= - arcsin a$ , где $0≤а≤1$

Если, $|а|≤1$ , то уравнение $sin t =a$ можно решить и записать двумя способами:

$1. t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$

$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$

$2. t=(-1)^n arcsin ⁡ a+πn; n∈Z$

$3.$ Частные случаи

$sin t = 0, t=πk;k∈Z$

$sin t = 1, t={π}/{2}+2πk;k∈Z$

$sin t = -1,t=-{π}/{2}+2πk;k∈Z$

Арктангенс

$a r c t g a$ - это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$ , тангенс которого равен $а$ .

$arctg a = t ⇔ \{\table \tgt=a; \-{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$

$arctg(-a)= - arctg a$

Уравнение $tg t = a$ имеет решение $t= arctg a+πk;k∈Z$

Практика: решай 5 задание и тренировочные варианты ЕГЭ по математике (профиль)

<< Параметрические уравнения, неравенства и системы

Планиметрия. Четырехугольники >>

Составим твой персональный план подготовки к ЕГЭ

Хочу!