Равнобедренные треугольники

Свойства:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

3. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

4. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

5. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые.

6. В равнобедренном треугольнике:

- биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны;

- высоты, проведенные из вершин при основании, равны;

- медианы, проведенные из вершин при основании, равны.

7. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане, проведенных к основанию.

8. Вписанная окружность точкой касания делит основание пополам.

$\angle \mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ - внешний угол треугольника $\mathit{А}\mathit{В}\mathit{С}$.

$\angle \mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}=\angle \mathit{A}+\angle \mathit{B}$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $\mathit{А}\mathit{В}\mathit{С}$, с прямым углом $\mathit{С}$.

Для острого угла $\mathit{В}$: $\mathit{А}\mathit{С}$ - противолежащий катет; $\mathit{В}\mathit{С}$ - прилежащий катет.

Для острого угла $\mathit{А}$: $\mathit{В}\mathit{С}$ - противолежащий катет; $\mathit{А}\mathit{С}$ - прилежащий катет.

1. Синусом ($\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом ($\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом ($\mathit{t}\mathit{g}$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом ($\mathit{c}\mathit{t}\mathit{g}$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{B}\mathit{O}\mathit{A}=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{B}\mathit{O}\mathit{C};$

$\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{B}\mathit{O}\mathit{A}=-\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{B}\mathit{O}\mathit{C};$

$\mathit{t}\mathit{g}\mathit{B}\mathit{O}\mathit{A}=-\mathit{t}\mathit{g}\mathit{B}\mathit{O}\mathit{C};$

$\mathit{c}\mathit{t}\mathit{g}\mathit{B}\mathit{O}\mathit{A}=-\mathit{c}\mathit{t}\mathit{g}\mathit{B}\mathit{O}\mathit{C}.$

Теорема Менелая:

Если на сторонах $\mathit{В}\mathit{С},\mathit{А}\mathit{В}$ и продолжении стороны $\mathit{А}\mathit{С}$ треугольника $\mathit{А}\mathit{В}\mathit{С}$ за точку $\mathit{С}$ отмечены соответственно ${\mathit{А}}_1,{\mathit{С}}_1,{\mathit{В}}_1$, лежащие на одной прямой, то

$\frac{\mathit{А}{\mathit{С}}_1}{{\mathit{С}}_1\mathit{В}}·\frac{\mathit{В}{\mathit{А}}_1}{{\mathit{А}}_1\mathit{С}}·\frac{\mathit{С}{\mathit{В}}_1}{{\mathit{В}}_1\mathit{А}}=1$

Теорема синусов.

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

$\frac{\mathit{a}}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\alpha }}=\frac{\mathit{b}}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\beta }}=\frac{\mathit{c}}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\gamma }}=2\mathit{R}$, где $\mathit{R}$ - радиус описанной около треугольника окружности.

Теорема косинусов.

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

${\mathit{a}}^2={\mathit{b}}^2+{\mathit{c}}^2-2·\mathit{b}·\mathit{c}·\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{\alpha }.$