Регистрация Войти
Все для самостоятельной подготовки к ЕГЭ

Готовься к ЕГЭ по персональному плану, следи за своим прогрессом, устраняй пробелы, выполняй квесты и получай награды

или
Войти через Вконтакте
Регистрируясь, я принимаю условия пользовательского соглашения
Русский язык
Математика
Обществознание
Физика
История
Биология
Химия
Информатика
География
ОГЭ

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.) 

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$. 

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$ 

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$ 

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника. 




Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$



Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$ 

Для острого угла $В$: $АС$ - противолежащий катет; $ВС$ - прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ - противолежащий катет; $АС$ - прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$  для острого угла $В$:

$sin⁡B={AC}/{AB};$

$cos⁡B={BC}/{AB};$

$tgB={AC}/{BC};$

$ctgB={BC}/{AC}.$

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$sin BOA=sin BOC;$

$cos BOA=-cos BOC;$

$tg BOA=-tg BOC;$

$ctg BOA=-ctg BOC.$

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$ $30$ $45$ $60$
$sinα$ ${1}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${√3}/{2}$
$cosα$ ${√3}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${1}/{2}$
$tgα$ ${√3}/{3}$ $1$ $√3$
$ctgα$ $√3$ $1$ ${√3}/{3}$



Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

$S={AC∙BC}/{2}$

Пример:

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√{91}$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.

Решение:

Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то

$cosABD=-cosABC$

Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:

$cosABC={ВС}/{АВ}$

Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:

$ВС=√{10^2-√{91}^2}=√{100-91}=√9=3$

Подставим найденное значение в формулу косинуса

$cos ABC = {3}/{10}=0,3$

$cos ABD = - 0,3$

Ответ: $-0,3$

Пример:

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sin⁡A={4}/{5}, AC=9$. Найдите $АВ$.

Решение:

Распишем синус угла $А$ по определению:

$sin⁡A={ВС}/{АВ}={4}/{5}$

Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.

Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

$9^2+(4х)^2=(5х)^2$

$81+16х^2=25х^2$

$81=25х^2-16х^2$

$81=9х^2$

$9=х^2$

$х=3$

Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$

Ответ: $15$



В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

$CD^2=DB∙AD$

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

$CB^2=AB∙DB$

$AC^2=AB∙AD$

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

$AC∙CB=AB∙CD$

Твой план подготовки к ЕГЭ 2018 почти готов

Построить свой план

всего за 3 минуты

Как подготовиться к ЕГЭ по математике (профильной)?