Регистрация Войти
Все для самостоятельной подготовки к ЕГЭ

Готовься к ЕГЭ по персональному плану, следи за своим прогрессом, устраняй пробелы, выполняй квесты и получай награды

или
Войти через Вконтакте
Регистрируясь, я принимаю условия пользовательского соглашения
Русский язык
Математика
Обществознание
Физика
История
Биология
Химия
Информатика
География
ОГЭ

Операции с числами

Операции с числами

Задачи с переводом единиц измерения

В задачах данной темы часто требуется перейти из одной единицы измерения в другую, разберем некоторые из них:

Важно помнить, что при переходе из меньшей единицы измерения к большей – число необходимо делить на величину отличия, а при переходе из большей единицы измерения в меньшую - умножать число на величину отличия.

1. Единицы измерения длины

$мм {⇄}↙{·10}↖{:10} см {⇄}↙{·10}↖{:10} дм {⇄}↙{·10}↖{:10} м {⇄}↙{·1000}↖{:1000} км$

2. Единицы измерения массы

$гр {⇄}↙{·1000}↖{:1000} кг {⇄}↙{·100}↖{:100} центнер {⇄}↙{·10}↖{:10} тонна$

3. Денежные единицы измерения

$копейка {⇄}↙{·100}↖{:100} рубль$

4. Единицы измерения времени

$секунда {⇄}↙{·60}↖{:60} минута {⇄}↙{·60}↖{:60} час {⇄}↙{·24}↖{:24} сутки$

5. Единицы измерения скорости

$км/{час} {⇄}↙{·3.6}↖{:3.6} м/с$

Задачи с округлениями

Округлить число - значит заменить его "круглым" числом с нулями на конце или с укороченной дробной частью в зависимости от того, до какого разряда производится округление.

Правила округления до целого значения:

Если дробная часть начинается с цифр от $0$ до $4$, то дробная часть просто отбрасывается, а целая часть не изменяется. Если дробная часть начинается с цифр от $5$ до $9$, то дробная часть тоже отбрасывается, но целая часть при этом увеличивается на единицу.

В задачах, связанных с реальными жизненными примерами, мы часто сталкиваемся с ситуациями, в которых в результате вычислений получается дробное число и его необходимо, в зависимости от условия, округлить в ту или иную сторону. Если мы округляем в сторону меньшего значения, то говорят, что мы округляем (вниз) с недостатком

Если мы округляем в сторону большего значения, то говорят, что мы округляем (вверх) с избытком.

Пример:

В студенческом общежитии в каждой комнате можно поселить четырех человек. Какое наименьшее количество комнат необходимо для размещения $93$ студентов?

Решение:

Чтобы посчитать количество комнат, необходимо число студентов разделить на количество мест в комнате:

${93}/{4}=23.25$

В данной ситуации мы округляем с избытком, так как в $23$ комнатах мы не разместим всех студентов, нам понадобится $24$ комнаты.

Ответ: $24$

Задачи на проценты и дроби

Процент – это сотая доля числа.

Чтобы проценты представить в виде десятичной дроби, надо значение разделить на $100$.

1. Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на $100$ и умножить на величину процента.

$%$ от $a={a·%}/{100}$

2. Чтобы найти число по его указанному проценту, нужно заданное число разделить на заданную величину процента, а результат умножить на $100$.

3. Чтобы найти дробь от числа, надо дробь умножить на число

${a}/{b}$ от $c={a·c}/{b}$

4. Чтобы найти число по заданному значению его дроби, необходимо значение разделить на дробь.

$c$ составляет ${a}/{b}$ от $k→k={c·b}/{a}$

Задачи на скидки:

Скидка — это понижение цены товара или услуги. Чаще всего скидку указывают в процентах.

Чтобы найти цену товара с учетом скидки необходимо:

  1. Из $100%$ отнять процент скидки
  2. Найти полученный процент от полной стоимости товара

Задачи на сравнение величин

1. Чтобы сравнить, на сколько одна величина больше другой, надо из большей величины отнять меньшую.

Пример:

Маша купила месячный проездной билет на троллейбус. Проездной билет стоит $280$ рублей, а разовая поездка — $8$ рублей. Сколько рублей сэкономила Маша, если за месяц она сделала $48$ поездок на троллейбусе?

Решение:

Сначала рассчитаем, сколько за месяц на поездки растратила бы Маша, если бы оплачивала каждую поездку:

$8·48=384$ рубля

Далее, чтобы найти, сколько рублей Маша сэкономила, приобретя проездной билет, надо сравнить, на сколько отличаются стоимости друг от друга. Для этого из большей стоимости вычтем меньшую:

$384-280=104$ рубля

Ответ: $104$

2. Чтобы сравнить во сколько раз отличаются величины, надо большую величину разделить на меньшую.

Задачи на движение

Основные формулы движения:

$S=t·υ; t={S}/{υ}; υ={S}/{t},$ где $S$ - это пройденный путь, или расстояние, $v$ - скорость движения, $t$ - время движения

Средняя скорость - это величина, равная отношению пути, пройденного телом, ко времени, за которое пройден этот путь.

$υ_{ср}={S_{общий}}/{t_{общее}}$

Задачи на выбор оптимального варианта и расчета стоимости товара

1. Чтобы рассчитать стоимость товара, необходимо цену товара умножить на количество.

2. Чтобы узнать, сколько получим сдачи с покупки товара: надо из имеющейся у нас суммы вычесть рассчитанную стоимость товара.

3. В задачах на выбор оптимального варианта предлагают рассчитать несколько вариантов стоимости услуги или товара и выбрать выгодный вариант (тот, который дешевле). Для вычислений необходимо внимательно прочитать задачу, при необходимости систематизировать данные по каждому товару. Далее сделать расчет по каждому варианту и выбрать самый выгодный.

Пример:

Семья из трёх человек планирует поехать из Санкт-Петербурга в Красный Сулин. Можно ехать поездом, а можно на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит $1420$ рублей. Автомобиль расходует $6$ л бензина на $100$ км, цена бензина — $34.5$ рублей за литр, а расстояние по шоссе $1700$ км. Сколько рублей придётся заплатить за наиболее дешёвую поездку на троих?

Решение:

Рассчитаем стоимость проезда на поезде. Для этого стоимость одного билета умножим на количество членов семьи:

$1420·3=4260$ рублей

Автомобиль на каждые $100$ км расходует $6$ литров бензина, семья проехала $1700$ км это $17$ раз по $100$ км, следовательно, $17·6=102$ литра бензина – потребуется на дорогу.

Умножим количество литров на стоимость одного литра бензина и узнаем стоимость проезда на автомобиле:

$102·34.5=3519$ рублей.

Выгоднее оказалась поездка на автомобиле, ее стоимость и запишем в ответ.

Ответ: $3519$

Задачи на части

Чтобы отыскать часть от общего количества (частоту), надо необходимое количество разделить на общее количество и результат записать в виде десятичной дроби.

Твой план подготовки к ЕГЭ 2017 почти готов

Построить свой план

всего за 3 минуты

Как подготовиться к ЕГЭ по математике (профильной)?