Операции с числами
Задачи с переводом единиц измерения
В задачах данной темы часто требуется перейти из одной единицы измерения в другую, разберем некоторые из них:
Важно помнить, что при переходе из меньшей единицы измерения к большей – число необходимо делить на величину отличия, а при переходе из большей единицы измерения в меньшую - умножать число на величину отличия.
1. Единицы измерения длины
$мм {⇄}↙{·10}↖{:10} см {⇄}↙{·10}↖{:10} дм {⇄}↙{·10}↖{:10} м {⇄}↙{·1000}↖{:1000} км$
2. Единицы измерения массы
$гр {⇄}↙{·1000}↖{:1000} кг {⇄}↙{·100}↖{:100} центнер {⇄}↙{·10}↖{:10} тонна$
3. Денежные единицы измерения
$копейка {⇄}↙{·100}↖{:100} рубль$
4. Единицы измерения времени
$секунда {⇄}↙{·60}↖{:60} минута {⇄}↙{·60}↖{:60} час {⇄}↙{·24}↖{:24} сутки$
5. Единицы измерения скорости
$км/{час} {⇄}↙{·3.6}↖{:3.6} м/с$
Задачи с округлениями
Округлить число - значит заменить его "круглым" числом с нулями на конце или с укороченной дробной частью в зависимости от того, до какого разряда производится округление.
Правила округления до целого значения:
Если дробная часть начинается с цифр от $0$ до $4$, то дробная часть просто отбрасывается, а целая часть не изменяется. Если дробная часть начинается с цифр от $5$ до $9$, то дробная часть тоже отбрасывается, но целая часть при этом увеличивается на единицу.
В задачах, связанных с реальными жизненными примерами, мы часто сталкиваемся с ситуациями, в которых в результате вычислений получается дробное число и его необходимо, в зависимости от условия, округлить в ту или иную сторону. Если мы округляем в сторону меньшего значения, то говорят, что мы округляем (вниз) с недостатком
Если мы округляем в сторону большего значения, то говорят, что мы округляем (вверх) с избытком.
Пример:
В студенческом общежитии в каждой комнате можно поселить четырех человек. Какое наименьшее количество комнат необходимо для размещения $93$ студентов?
Решение:
Чтобы посчитать количество комнат, необходимо число студентов разделить на количество мест в комнате:
${93}/{4}=23.25$
В данной ситуации мы округляем с избытком, так как в $23$ комнатах мы не разместим всех студентов, нам понадобится $24$ комнаты.
Ответ: $24$
Задачи на проценты и дроби
Процент – это сотая доля числа.
Чтобы проценты представить в виде десятичной дроби, надо значение разделить на $100$.
1. Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на $100$ и умножить на величину процента.
$%$ от $a={a·%}/{100}$
2. Чтобы найти число по его указанному проценту, нужно заданное число разделить на заданную величину процента, а результат умножить на $100$.
3. Чтобы найти дробь от числа, надо дробь умножить на число
${a}/{b}$ от $c={a·c}/{b}$
4. Чтобы найти число по заданному значению его дроби, необходимо значение разделить на дробь.
$c$ составляет ${a}/{b}$ от $k→k={c·b}/{a}$
Задачи на скидки:
Скидка — это понижение цены товара или услуги. Чаще всего скидку указывают в процентах.
Чтобы найти цену товара с учетом скидки необходимо:
- Из $100%$ отнять процент скидки
- Найти полученный процент от полной стоимости товара
Задачи на сравнение величин
1. Чтобы сравнить, на сколько одна величина больше другой, надо из большей величины отнять меньшую.
Пример:
Маша купила месячный проездной билет на троллейбус. Проездной билет стоит $280$ рублей, а разовая поездка — $8$ рублей. Сколько рублей сэкономила Маша, если за месяц она сделала $48$ поездок на троллейбусе?
Решение:
Сначала рассчитаем, сколько за месяц на поездки растратила бы Маша, если бы оплачивала каждую поездку:
$8·48=384$ рубля
Далее, чтобы найти, сколько рублей Маша сэкономила, приобретя проездной билет, надо сравнить, на сколько отличаются стоимости друг от друга. Для этого из большей стоимости вычтем меньшую:
$384-280=104$ рубля
Ответ: $104$
2. Чтобы сравнить во сколько раз отличаются величины, надо большую величину разделить на меньшую.
Задачи на движение
Основные формулы движения:
$S=t·υ; t={S}/{υ}; υ={S}/{t},$ где $S$ - это пройденный путь, или расстояние, $v$ - скорость движения, $t$ - время движения
Средняя скорость - это величина, равная отношению пути, пройденного телом, ко времени, за которое пройден этот путь.
$υ_{ср}={S_{общий}}/{t_{общее}}$
Задачи на выбор оптимального варианта и расчета стоимости товара
1. Чтобы рассчитать стоимость товара, необходимо цену товара умножить на количество.
2. Чтобы узнать, сколько получим сдачи с покупки товара: надо из имеющейся у нас суммы вычесть рассчитанную стоимость товара.
3. В задачах на выбор оптимального варианта предлагают рассчитать несколько вариантов стоимости услуги или товара и выбрать выгодный вариант (тот, который дешевле). Для вычислений необходимо внимательно прочитать задачу, при необходимости систематизировать данные по каждому товару. Далее сделать расчет по каждому варианту и выбрать самый выгодный.
Пример:
Семья из трёх человек планирует поехать из Санкт-Петербурга в Красный Сулин. Можно ехать поездом, а можно на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит $1420$ рублей. Автомобиль расходует $6$ л бензина на $100$ км, цена бензина — $34.5$ рублей за литр, а расстояние по шоссе $1700$ км. Сколько рублей придётся заплатить за наиболее дешёвую поездку на троих?
Решение:
Рассчитаем стоимость проезда на поезде. Для этого стоимость одного билета умножим на количество членов семьи:
$1420·3=4260$ рублей
Автомобиль на каждые $100$ км расходует $6$ литров бензина, семья проехала $1700$ км это $17$ раз по $100$ км, следовательно, $17·6=102$ литра бензина – потребуется на дорогу.
Умножим количество литров на стоимость одного литра бензина и узнаем стоимость проезда на автомобиле:
$102·34.5=3519$ рублей.
Выгоднее оказалась поездка на автомобиле, ее стоимость и запишем в ответ.
Ответ: $3519$
Задачи на части
Чтобы отыскать часть от общего количества (частоту), надо необходимое количество разделить на общее количество и результат записать в виде десятичной дроби.
