Регистрация Войти
Все для самостоятельной подготовки к ЕГЭ

Готовься к ЕГЭ по персональному плану, следи за своим прогрессом, устраняй пробелы, выполняй квесты и получай награды

или
Войти через Вконтакте
Регистрируясь, я принимаю условия пользовательского соглашения
Русский язык
Математика
Обществознание
Физика
История
Биология
Химия
Информатика
География
ОГЭ

Задачи на движение по прямой и по окружности

В задачах на движение по прямой часто надо отыскать среднюю скорость транспортного средства.

Средняя скорость – это величина, равная отношению пути, пройденного телом, ко времени, за которое пройден этот путь.

$v_{ср}={S_{общий}}/{t_{общее}}$

Пример:

Первые $140$ км автомобиль ехал со скоростью $70$ км/ч, следующие $220$ км — со скоростью $80$ км/ч, а затем $30$ км — со скоростью $120$ км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Для простоты решения задачи сделаем таблицу.

$S_1=140км$ $S_2=220км$ $S_3=30км$
$v_1=70$км/ч $v_2=80$км/ч $v_3=120$км/ч
$t_1-?$ $t_2-?$ $t_3-?$

Получилось три участка пути, про каждый участок мы знаем его путь и скорость, но для расчета средней скорости необходимо знать путь и время каждого участка. Найдем время каждого участка пути, для этого разделим путь на скорость.

$t_1={S_1}/{v_1}={140}/{70}=2$ часа

$t_2={S_2}/{v_2}={220}/{80}=2.75$ часа

$t_3={S_3}/{v_3}={30}/{120}=0.25$ часа

$v_{ср}={S_1+S_2+S_3}/{t_1+t_2+t_3}={140+220+30}/{2+2.75+0.25}={390}/{5}=78$ км/ч

Ответ: $78$ км/ч



Иногда встречаются такие задачи на движение, в которых учитываются размеры транспортного средства. Чаще всего в таких задачах необходимо рассчитать длину поезда, например.

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью $60$ км/ч, проезжает мимо платформы, длина которой равна $200$ метрам, за $3$ минуты. Найдите длину поезда в метрах.

Решение:

Считается, что поезд проедет полностью мимо платформы, если он проедет длину платформы и еще свою длину.

Найдем расстояние, которое поезд проедет за три минуты. Время переведем в секунды и умножим на скорость поезда, которую переведем из км/ч в м/с.

$3$ минуты $=3·60=180$ секунд

$60$ км/ч$={60}/{3.6}={600}/{36}={50}/{3}$ м/с

$S=v·t={50·180}/{3}=3000$ метров

Чтобы найти длину поезда из всего пройденного пути за $3$ минуты вычтем длину платформы:

$l=3000-200=2800$ метров.

Ответ: $2800$

Пример:

Два велосипедиста одновременно отправились в пробег протяжённостью $84$ километра. Первый ехал со скоростью, на $5$ км/ч большей скорости второго, и прибыл к финишу на $5$ часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть $х$ км/ч –скорость второго велосипедиста, тогда $(х+5)$ км/ч – скорость первого велосипедиста.

Создаем стандартную таблицу и столбец $«v»$ заполняем данными с неизвестными.

  $S$(км) $v$(км) $t$(ч)
Первый велосипедист   $(x+5)$  
Второй велосипедист   $x$  

Так как расстояние, которое проехали велосипедисты одинаково и равно $84$ км, заполняем столбец $«S»$.

  $S$(км) $v$(км) $t$(ч)
Первый велосипедист $84$ $(x+5)$  
Второй велосипедист $84$ $x$  

Третий столбец заполняем по формуле $t={S}/{v}$.

  $S$(км) $v$(км) $t$(ч)
Первый велосипедист $84$ $(x+5)$ ${84}/{(x+5)}$
Второй велосипедист $84$ $x$ ${84}/{x}$

Именно содержимое третьего столбца будем использовать для составления уравнения к задаче. По условию задачи разница между временами движения велосипедистов равна $5$ часов. Дольше в пути находился второй велосипедист, следовательно, из большего времени отнимаем меньшее время и все это равно разнице времен.

${84}/{х}-{84}/{(х+5)}=5$

Перенесем все слагаемые в левую сторону уравнения

${84}/{х}-{84}/{(х+5)}-5=0$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $х(х+5)$, тогда к первой дроби дополнительный множитель равен $(х+5)$, ко второй $х$, а к третьему слагаемому $(х^2+5х)$.Получаем:

${84х+420-84х-5х^2-25х}/{х(х+5)}=0$

Далее проговариваем: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$84х+420-84х-5х^2-25х=0; х(х+5)≠0$

Найдем сначала корни знаменателя (ОДЗ дроби)

$х(х+5)≠0$

$х≠0$ или $х+5≠0$

$х≠0$ или $х≠-5$

Найдем корни числителя.

$84х+420-84х-5х^2-25х=0;$

Приведем подобные слагаемые и расставим поставим их в порядке убывания степеней

$-5х^2-25х+420=0$

Разделим уравнение на $(-5)$

$х^2+5х-84=0$

По теореме Виета

$х_1=-12, х_2=7$

$х_1=-12$ нам не подходит, так как отрицательная величина.

$х_2=7$ км/ч – скорость велосипедиста.

Ответ: $7$



Некоторые нюансы в задачах с круговом движении:

  1. В задачах на движение по окружности желательно делать рисунок, чтобы расставить величины и увидеть взаимосвязь между транспортными средствами.
  2. Если транспортные средства начали двигаться из одной точки в диаметрально противоположных направлениях, то между ними расстояние равное половине длины окружности.
  3. Если в задаче сказано, что транспортные средства двигаются в одном направлении, то необходимо узнать их скорость опережения: для этого из большей скорости вычитается меньшая.
  4. Любую задачу на круговое движение можно представить как задачу на прямолинейном отрезке, мысленно развернув круговую трассу в прямую.

Пример:

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна $18$ км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна $92$ км/ч, и через $45$ минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Сделаем рисунок к задаче, для этого мысленно развернем круговую трассу в прямую.

$S=18$ км

$t=45$мин$={3}/{4}$часа

Пусть $х$ км/ч - скорость второго автомобиля.

Скорость опережения равна разности скоростей.

Тогда скорость опережения равна $v_{опережения}=(92-х)$. Так как первый автомобиль обгонит второй на один круг за $45$ минут, то скорость опережения можно выразить еще одним способом: для этого длину круга надо разделить на время опережения.

Не забываем перевести время из минут в часы $45$минут$={45}/{60}={3}/{4}$часа

$v_{опережения}={S}/{t}={18}/{{3}/{4}}={18·4}/{3}=24$

Так как мы разными записями выразили скорость опережения, то для составления уравнения приравняем обе записи друг к другу.

$92-х=24$

$-х=24-92$

$х=68$ км/ч – скорость второго автомобиля.

Ответ: $68$

Твой план подготовки к ЕГЭ 2017 почти готов

Построить свой план

всего за 3 минуты

Как подготовиться к ЕГЭ по математике (профильной)?