Задание 18 из ЕГЭ по математике (профиль)
Тема: «Числа и их свойства»
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство $a^2+2a-\sin^2x+a⋅\cos x>2$ выполняется для любого значения $x$.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\ln(5x-2)⋅√ {x^2-6x+6a-a^2}=0$. имеет ровно один корень на отрезке $[0; 3]$.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$ | x^2-4a^2 | = | x+2a | ⋅ √ {x+18} $ имеет ровно два различных решения.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых наименьшее значение функции $f(x)=2x+|x|+|x^2+(a+1)x- 2a^2+2a|$ больше $-10$.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $\{{\table {3|x|+ x+3=y+x^2{,}}; {y=ax+2a};} $ имеет ровно два различных решения.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$x^2(x^2+16)=8(a^3+x^3)$ имеет ровно два корня.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
${2a^2+3ax+(4-3x)\log_2 x-2a(\log_2 x+2)} / {x^2-3x} =0$ имеет хотя бы один корень на промежутке $[0{,}5;4]$.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$\tg (5π x)\lg (4x+2a+1)=\lg (4x+2a+1)$ имеет единственный корень на отрезке $[0; {1} / {4})$.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$ {x^2-8x+2a} / {11x^2-8ax-3a^2} =0$ имеет ровно два различных решения.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$ | x^2- a^2 | = | x+a | ⋅ √ {4x+4a^2-12a}$ имеет ровно два различных решения.
На доске написано несколько натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше $50$ и меньше $140$.
а) Может ли на доске быть $6$ чисел?
б) Может ли на доске быть $7$ чисел?
Света задумала трёхзначное натуральное число, не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 40?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть…
Множество чисел назовём отличным, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество {300; 301; 302; ... 399} отличным?
б) Является ли м…
Учитель задумал несколько различных целых чисел и выписал набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т.д. слагаемых) на доске в порядке неубывания. Например, если бы о…
Две девочки делают фотографии во время туристической поездки. В первый день Катя сделала $k$ фотографий, а Маша — $m$ ($k⩾1$, $m⩾1$). Каждый последующий день каждая из девочек делает на $1$ …
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $a^5-5^{x+2}+25a^4+15^x=a(5^x+a^3⋅3^x)$ имеет ровно два решения, каждое из которых не более $4$.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $a^3-a^2(2^x-8)-a⋅ 2^x+4^x=2^{x+3}$ имеет ровно два решения, каждое из которых не более $10$.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство $a^2-2a-\cos^2x-4a⋅\sin x>-4$ выполняется для любого значения $x$.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $ \{{\table {√ {64y- x^2}=√ {64y-16y^2},}; {xy+6a^2=2ay+3ax};} $ имеет единственное решение.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $ \{{\table {√ {25-x^2}=√ {25-25y^2},}; {xy+10a^2=5ay+2ax};} $ имеет ровно два различных решения.
Основная тема для номера восемнадцать — «Числа и их свойства». Вопросы с экзаменационных билетов возможно будут такими: «Дано 3-значное натуральное число, которое не будет кратно 10. Может ли его частное быть равным 9? Или 8? Какое наибольшее натуральное значение возможно, чтобы имелось частное данного числа?». Некоторые варианты поданы в виде мини-задач: «Гайки можно разложить в пакетики, и их упаковать по три штуки в коробки. Второй вариант — разложить их же в пакетики так, но в каждый положить на три больше, чем ранее. Тогда пакеты упаковываются в коробки по два в каждую, а самих коробок потребуется на две штуки больше. Рассчитайте максимально возможное количество гаек при таких условиях?»
Часть вопросов задания 18 составлена по теме «Числовые наборы на карточках». Эти задачи, по мнению выпускников прошлых лет, достаточно сложные: «На доске записано 7. Вы дописываете рядом новые числа, которые либо в два раза больше любого из ранее написанных, либо равняются сумме двух любых ранее записанных чисел. Может ли среди представленных быть 2012? Или сумма всех данных чисел равняться 63? Если каждое новое число дописывать один раз в минуту, то через какое минимальное количество минут на доске сможет появиться 784?»
«Последовательности и прогрессии» — еще одна формулировка номера восемнадцать. Пример вопроса: «Все члены геометрической прогрессии — натуральные в интервале между 510 и 740 включительно. Может ли в этой прогрессии быть всего четыре члена? А пять?». Отдельно в этом экзаменационном билете рассматриваются сюжетные задачи: кино, театр, мотки веревки. Они вызывают наибольший интерес у выпускников, но одновременно являются и самыми сложными.
