Задание 17 из ЕГЭ по математике (профиль). Страница 3

В остроугольном треугольнике $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ проведены высота $\mathit{B}{\mathit{B}}_1$ и медиана $\mathit{A}{\mathit{A}}_1$, причём точки $\mathit{A}$, $\mathit{B}$, ${\mathit{B}}_1$ и ${\mathit{A}}_1$ лежат на одной окружности. а) Докажите, что треугольник $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ равнобедренный. б) Н…

$\mathit{A}\mathit{L}$ — биссектриса равнобедренного треугольника $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ с основанием $\mathit{A}\mathit{C}$. На продолжении стороны $\mathit{A}\mathit{C}$ за вершину $\mathit{C}$ взята точка $\mathit{K}$ так, что $\mathit{A}\mathit{L}=\mathit{L}\mathit{K}$. a) Докажите, что треугольник $\mathit{C}\mathit{K}\mathit{L}$ равнобедрен…

Две окружности касаются внешним образом в точке $\mathit{K}$, через которую проведена их общая касательная, на которой отмечена точка $\mathit{M}$. Через точку $\mathit{M}$ проведены две прямые: одна пересекает пе…

Две окружности касаются внешним образом в точке $\mathit{K}$, через которую проведена их общая касательная, на которой отмечена точка $\mathit{M}$. Через точку $\mathit{M}$ проведены две прямые: одна пересекает пе…

В трапеции $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ основания $\mathit{B}\mathit{C}$ и $\mathit{A}\mathit{D}$ равны $2$ и $12$ соответственно. Из точки $\mathit{K}$, лежащей на стороне $\mathit{C}\mathit{D}$, опущен перпендикуляр $\mathit{K}\mathit{L}$ на сторону $\mathit{A}\mathit{B}$. Известно, что $\mathit{L}$ — середина стороны $\mathit{A}\mathit{B}$, $\mathit{C}\mathit{L}=5$ …

В треугольнике $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ $\mathit{A}\mathit{B}=8$, $\angle \mathit{A}\mathit{C}\mathit{B}=\arcsin \frac{8}{11}$. Хорда $\mathit{D}\mathit{G}$ окружности, описанной около треугольника $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$, пересекает стороны $\mathit{A}\mathit{C}$ и $\mathit{B}\mathit{C}$ треугольника в точках $\mathit{F}$ и $\mathit{E}$ соответственно. Изве…

В прямоугольном треугольнике $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ точка $\mathit{N}$ лежит на катете $\mathit{B}\mathit{C}$, а точка $\mathit{M}$ — на продолжении катета $\mathit{A}\mathit{C}$ за точку $\mathit{C}$, причём $\mathit{A}\mathit{C}=\mathit{C}\mathit{N}$ и $\mathit{B}\mathit{C}=\mathit{C}\mathit{M}$. Отрезки $\mathit{C}\mathit{H}$ и $\mathit{C}\mathit{K}$ — высоты треугольников $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ и $\mathit{C}\mathit{M}\mathit{N}$ …

Задан треугольник $△\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$, каждая сторона которого равна $5$. За пределами треугольника дана точка $\mathit{D}$ так, что $\angle \mathit{A}\mathit{D}\mathit{C}=120°$.

а) Докажите, что $\mathit{A}\mathit{D}+\mathit{C}\mathit{D}=\mathit{B}\mathit{D}$.

б) Прямая $\mathit{l}$ касается описанной …

Задан треугольник $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$, каждая сторона которого равна $2$. За пределами треугольника дана точка $\mathit{D}$ так, что $\angle \mathit{A}\mathit{D}\mathit{C}=120°$. Прямая $\mathit{l}$ проходит через точку $\mathit{A}$ и перпендикулярна отрезку, пров…

Две окружности с центрами ${\mathit{O}}_1$ и ${\mathit{O}}_2$ соответственно касаются внешним образом. Из точки ${\mathit{O}}_1$ проведена касательная ${\mathit{O}}_1\mathit{T}$ ко второй окружности ($\mathit{T}$ - точка касания), а из точки ${\mathit{O}}_2$ провед…

Две окружности с центрами ${\mathit{O}}_1$ и ${\mathit{O}}_2$ соответственно касаются внешним образом. Из точки ${\mathit{O}}_1$ проведена касательная ${\mathit{O}}_1\mathit{K}$ ко второй окружности ($\mathit{K}$ - точка касания), а из точки ${\mathit{O}}_2$ провед…

Две окружности касаются внешним образом в точке $\mathit{T}$. Прямая $\mathit{K}\mathit{N}$ касается первой окружности в точке $\mathit{K}$, а второй - в точке $\mathit{N}$. Известно, что $\mathit{T}\mathit{S}$ - диаметр окружности, описанной около $△\mathit{K}\mathit{N}\mathit{T}$.…

Две окружности касаются внешним образом в точке $\mathit{P}$. Прямая $\mathit{M}\mathit{N}$ касается первой окружности в точке $\mathit{M}$, а второй - в точке $\mathit{N}$.

а) Докажите, что $△\mathit{M}\mathit{N}\mathit{P}$ прямоугольный.

б) Найдите площадь $△\mathit{M}\mathit{N}\mathit{P}$,…

В прямоугольнике ABCD AB = 16, AD = 22. К окружности, радиус которой равен 8, с центром в точке A из точки C проведена касательная, которая пересекает сторону AD в точке M.

а) Дока…

В прямоугольнике ABCD AB = 24, AD = 23. К окружности, радиус которой равен 12, с центром в точке A из точки C проведена касательная, которая пересекает сторону AD в точкеM.

а) Дока…

Биссектриса острого угла параллелограмма пересекает его сторону в точке K. Окружность радиусом 3 проходит через точку пересечения диагоналей и касается трёх сторон параллелограмма,…

Биссектриса острого угла A равнобедренной трапеции ABCD пересекает её основание в точке K. В этой трапеции расположены две равные окружности радиусом 2, касающиеся её сторон и друг…

К окружности, вписанной в правильный треугольник ABC, проведена касательная, пересекающая стороны AC и BC в точках M и N соответственно и касающаяся окружности в точке T.

а) Докажи…

К окружности, вписанной в правильный треугольник ABC, проведена касательная, пересекающая стороны AC и BC в точках M и N соответственно и касающаяся окружности в точке T.

а) Докажи…

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне …