Задание 14 из ЕГЭ по математике (профиль). Страница 2

Дана правильная треугольная пирамида $\mathit{S}\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$, $\mathit{A}\mathit{B}=14$. Высота $\mathit{S}\mathit{O}$, проведённая к основанию, равна 18, точка $\mathit{D}$ — середина $\mathit{A}\mathit{S}$, точка $\mathit{E}$ — середина $\mathit{B}\mathit{C}$. Плоскость, проходящая через точку $\mathit{D}$ и …

В правильной четырёхугольной пирамиде $\mathit{S}\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ сторона основания равна 12, а высота $\mathit{S}\mathit{O}$ равна 9. Точка $\mathit{K}$ делит боковое ребро $\mathit{S}\mathit{C}$ в отношении $3:2$, считая от вершины $\mathit{S}$. Плоскость $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{K}$ пере…

В правильной четырёхугольной пирамиде $\mathit{S}\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ сторона основания равна 24, а высота $\mathit{S}\mathit{O}$ равна 16. Точка $\mathit{K}$ — середина бокового ребра $\mathit{S}\mathit{C}$. Плоскость $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{K}$ пересекает боковое ребро $\mathit{S}\mathit{D}$ в точк…

В правильной четырёхугольной пирамиде $\mathit{S}\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ сторона основания равна 48, а высота $\mathit{S}\mathit{O}$ равна 18. Точка $\mathit{F}$ — середина бокового ребра $\mathit{S}\mathit{C}$, точка $\mathit{E}$ — середина ребра $\mathit{C}\mathit{D}$. Плоскость $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{F}$ перес…

Ребро куба $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$ равно $10$. На рёбрах $\mathit{B}\mathit{C}$ и ${\mathit{A}}_1{\mathit{D}}_1$ взяты соответственно точки $\mathit{K}$ и $\mathit{L}$, а на ребре $\mathit{C}\mathit{D}$ — точки $\mathit{M}$ и $\mathit{N}$ так, что $\mathit{B}\mathit{K}={\mathit{D}}_1\mathit{L}=\mathit{C}\mathit{M}=\mathit{D}\mathit{N}=3$. а) Докажите, что косинус угла ме…

Основание $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ правильной треугольной пирамиды $\mathit{D}\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ вписано в основание конуса с вершиной $\mathit{S}$, а вершина $\mathit{D}$ пирамиды расположена на высоте $\mathit{S}\mathit{O}$ конуса. Объём конуса равен $36\mathit{\pi }$, объём пира…

Основание $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ правильной четырёхугольной пирамиды $\mathit{S}\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ вписано в нижнее основание цилиндра, а вершина $\mathit{S}$ расположена на оси $\mathit{O}{\mathit{O}}_1$ цилиндра (${\mathit{O}}_1$ — центр верхнего основания цилиндра)…

В правильной четырёхугольной призме $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$ стороны основания равны $8$, а боковые рёбра равны $12$. Точка $\mathit{P}$ — середина ребра $\mathit{A}{\mathit{A}}_1$, на ребре $\mathit{D}{\mathit{D}}_1$ отмечена точка $\mathit{T}$ так, что $\mathit{D}\mathit{T}:\mathit{T}{\mathit{D}}_1=1:5$.…

Точки $\mathit{M}$ и $\mathit{N}$ — середины рёбер $\mathit{A}\mathit{D}$ и $\mathit{C}{\mathit{C}}_1$ куба $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$ соответственно. Ребро куба равно $4$. a) Докажите, что прямые ${\mathit{B}}_1\mathit{M}$ и $\mathit{B}\mathit{N}$ перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прям…

Точки $\mathit{P}$ и $\mathit{Q}$ — середины рёбер $\mathit{A}\mathit{D}$ и $\mathit{C}{\mathit{C}}_1$ куба $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$ соответственно. Ребро куба равно $3$. a) Докажите, что прямые ${\mathit{B}}_1\mathit{P}$ и $\mathit{B}\mathit{Q}$ перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прям…

В основании прямой треугольной призмы $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1$ лежит равнобедренный треугольник $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ с основанием $\mathit{A}\mathit{C}$. Точка $\mathit{D}$ — середина ребра ${\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1$, а точка $\mathit{F}$ делит ребро $\mathit{A}\mathit{C}$ в отношении $\mathit{A}\mathit{F}:\mathit{F}\mathit{C}=1:3$.…

В правильной шестиугольной пирамиде $\mathit{S}\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}\mathit{E}\mathit{F}$ сторона основания $\mathit{A}\mathit{B}=8$, а боковое ребро $\mathit{S}\mathit{D}=10$. Точка $\mathit{P}$ — середина ребра $\mathit{A}\mathit{B}$. Через точки $\mathit{P}$ и $\mathit{D}$ перпендикулярно плоскости $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ проведена пл…

В правильной шестиугольной пирамиде $\mathit{S}\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}\mathit{E}\mathit{F}$ сторона основания $\mathit{A}\mathit{B}=6$, а боковое ребро $\mathit{S}\mathit{D}=16$. Точка $\mathit{P}$ — середина ребра $\mathit{A}\mathit{B}$. Через точки $\mathit{P}$ и $\mathit{D}$ перпендикулярно плоскости $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ проведена пл…

В правильной четырёхугольной пирамиде $\mathit{S}\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ сторона основания равна $12$, а боковое ребро $\mathit{S}\mathit{A}$ равно $17$. На рёбрах $\mathit{A}\mathit{B}$ и $\mathit{S}\mathit{B}$ отмечены точки $\mathit{K}$ и $\mathit{L}$ соответственно, причём $\mathit{A}\mathit{K}=\mathit{S}\mathit{L}=7$. Плоскост…

В правильной треугольной пирамиде $\mathit{S}\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ сторона основания $\mathit{A}\mathit{B}=8$, а боковое ребро $\mathit{S}\mathit{A}=12$. На рёбрах $\mathit{A}\mathit{B}$ и $\mathit{S}\mathit{C}$ отмечены точки $\mathit{K}$ и $\mathit{M}$ соответственно, причём $\mathit{A}\mathit{K}:\mathit{K}\mathit{B}=\mathit{S}\mathit{M}:\mathit{M}\mathit{C}=1:4$, плоскость $\mathit{\alpha }$ сод…

В правильной четырёхугольной пирамиде $\mathit{S}\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ сторона основания $\mathit{A}\mathit{B}=8$, а боковое ребро $\mathit{S}\mathit{A}=12$. На рёбрах $\mathit{A}\mathit{B}$ и $\mathit{S}\mathit{B}$ отмечены точки $\mathit{M}$ и $\mathit{K}$ соответственно, причём $\mathit{A}\mathit{M}=3,2$, $\mathit{S}\mathit{K}=3$. а) Докажит…

В основании прямой призмы $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$ лежит ромб $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ с диагоналями $\mathit{A}\mathit{C}=16$ и $\mathit{B}\mathit{D}=12$.

а) Докажите, что прямые $\mathit{B}{\mathit{D}}_1$ и $\mathit{A}\mathit{C}$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми $\mathit{B}{\mathit{D}}_1$ …

В основании прямой призмы $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$ лежит ромб $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ с диагоналями $\mathit{A}\mathit{C}=10$ и $\mathit{B}\mathit{D}=24$.

а) Докажите, что прямые ${\mathit{B}}_1{\mathit{D}}_1$ и $\mathit{A}{\mathit{C}}_1$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямы…

Дана правильная призма $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$, точка $\mathit{M}$ лежит на ребре $\mathit{C}\mathit{D}$, точка $\mathit{N}$ лежит на ребре $\mathit{B}\mathit{C}$, при этом $\mathit{C}\mathit{M}=\frac{1}{3}\mathit{C}\mathit{D},\mathit{C}\mathit{N}=\frac{1}{3}\mathit{B}\mathit{C}$, точка $\mathit{L}$ - середина $\mathit{M}\mathit{N}$.

а) Докажите, что прямые ${\mathit{A}}_1\mathit{L}$ …

Дана правильная призма $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1,\mathit{M}$ и $\mathit{N}$ - середины рёбер $\mathit{A}\mathit{B}$ и $\mathit{B}\mathit{C}$ соответственно, точка $\mathit{K}$ - середина $\mathit{M}\mathit{N}$.

а) Докажите, что прямые $\mathit{K}{\mathit{D}}_1$ и $\mathit{M}\mathit{N}$ перпендикулярны.

б) Найдите угол ме…