Задание 14 из ЕГЭ по математике (профиль): задача 36

Дана правильная призма $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$, точка $\mathit{M}$ лежит на ребре $\mathit{C}\mathit{D}$, точка $\mathit{N}$ лежит на ребре $\mathit{B}\mathit{C}$, при этом $\mathit{C}\mathit{M}=\frac{1}{3}\mathit{C}\mathit{D},\mathit{C}\mathit{N}=\frac{1}{3}\mathit{B}\mathit{C}$, точка $\mathit{L}$ - середина $\mathit{M}\mathit{N}$.

а) Докажите, что прямые ${\mathit{A}}_1\mathit{L}$ …

В прямоугольном параллелепипеде $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$ известны длины рёбер $\mathit{A}{\mathit{A}}_1=3\sqrt{2}$, $\mathit{A}\mathit{B}=3$, $\mathit{A}\mathit{D}=8$. Точка $\mathit{K}$ делит отрезок ${\mathit{A}}_1{\mathit{D}}_1$ в отношении $3:1$, считая от вершины ${\mathit{A}}_1$. а) Докажите, что п…

Дана правильная призма $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1,\mathit{M}$ и $\mathit{N}$ - середины рёбер $\mathit{A}\mathit{B}$ и $\mathit{B}\mathit{C}$ соответственно, точка $\mathit{K}$ - середина $\mathit{M}\mathit{N}$.

а) Докажите, что прямые $\mathit{K}{\mathit{D}}_1$ и $\mathit{M}\mathit{N}$ перпендикулярны.

б) Найдите угол ме…

В правильной четырёхугольной пирамиде $\mathit{S}\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ сторона основания равна 12, а высота $\mathit{S}\mathit{O}$ равна 9. Точка $\mathit{K}$ делит боковое ребро $\mathit{S}\mathit{C}$ в отношении $3:2$, считая от вершины $\mathit{S}$. Плоскость $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{K}$ пере…