Задание 14 из ЕГЭ по математике (профиль): задача 21

В основании прямой призмы $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$ лежит ромб $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ с диагоналями $\mathit{A}\mathit{C}=16$ и $\mathit{B}\mathit{D}=12$.

а) Докажите, что прямые $\mathit{B}{\mathit{D}}_1$ и $\mathit{A}\mathit{C}$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми $\mathit{B}{\mathit{D}}_1$ …

Все рёбра правильной треугольной призмы $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1$ равны $12$. Через середины рёбер $\mathit{A}\mathit{C}$ и $\mathit{B}{\mathit{B}}_1$ и вершину ${\mathit{A}}_1$ призмы проведена секущая плоскость.

а) Докажите, что ребро $\mathit{B}\mathit{C}$ делится се…

Ребро куба $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$ равно $8$. На рёбрах $\mathit{B}\mathit{C}$ и ${\mathit{A}}_1{\mathit{D}}_1$ взяты соответственно точки $\mathit{K}$ и $\mathit{L}$, а на ребре $\mathit{C}\mathit{D}$ — точки $\mathit{M}$ и $\mathit{N}$ так, что $\mathit{B}\mathit{K}={\mathit{D}}_1\mathit{L}=\mathit{C}\mathit{M}=\mathit{D}\mathit{N}=2$. а) Докажите, что косинус угла меж…

Внутри цилиндра расположен куб $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$ так, что все его вершины лежат на поверхности цилиндра, причём вершины $\mathit{B}$ и ${\mathit{D}}_1$ совпадают с центрами оснований, а остальные вершины л…