Задание 14 из ЕГЭ по математике (профиль): задача 23

Дана правильная призма $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1,\mathit{M}$ и $\mathit{N}$ - середины рёбер $\mathit{A}\mathit{B}$ и $\mathit{B}\mathit{C}$ соответственно, точка $\mathit{K}$ - середина $\mathit{M}\mathit{N}$.

а) Докажите, что прямые $\mathit{K}{\mathit{D}}_1$ и $\mathit{M}\mathit{N}$ перпендикулярны.

б) Найдите угол ме…

Основанием прямой призмы $\mathit{A}\mathit{D}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$ является ромб с острым углом $\mathit{A}$, равным $60°$. Все рёбра этой призмы равны $8$. Точки $\mathit{P}$ и $\mathit{M}$ - середины рёбер $\mathit{A}{\mathit{A}}_1$ и ${\mathit{A}}_1{\mathit{D}}_1$ соответственно.

а) Д…

Внутри цилиндра расположен куб $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$ так, что все его вершины лежат на поверхности цилиндра, причём вершины $\mathit{B}$ и ${\mathit{D}}_1$ совпадают с центрами оснований, а остальные вершины л…

В правильном тетраэдре DABC с ребром 5 на рёбрах AD, BD и AC выбраны точки K, L и M соответственно так, что KD = MC = 2, LD = 4.

а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью KLM.

б) Н…