Задание 24 из ОГЭ по математике. Страница 2

В трапеции ABCD основания BC и AD равны соответственно 8 и 24, диагональ BD в 3 раза больше меньшего основания. Докажите, что треугольники ABD и BCD подобны.

$\mathit{P}\mathit{H}$ и $\mathit{Q}{\mathit{H}}_1$ являются высотами остроугольного треугольника MPQ. Докажите, что углы $\mathit{H}{\mathit{H}}_1\mathit{P}$ и ${\mathit{H}}_1\mathit{P}\mathit{Q}$ равны.

Докажите, что углы QNP и PMQ равны, если в выпуклом четырехугольнике MNPQ углы MNQ b MPQ равны.

Докажите, что AM=CN, если в параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, через которую проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках M и N соответственно.

Окружности с центрами в точках $\mathit{P}$ и $\mathit{Q}$ не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $3:7$. Докажите, что диам…

В выпуклом четырёхугольнике $\mathit{M}\mathit{N}\mathit{P}\mathit{Q}$ углы $\mathit{N}\mathit{P}\mathit{M}$ и $\mathit{N}\mathit{Q}\mathit{M}$ равны. Докажите, что углы $\mathit{M}\mathit{N}\mathit{Q}$ и $\mathit{M}\mathit{P}\mathit{Q}$ также равны.

Около четырёхугольника $\mathit{M}\mathit{N}\mathit{P}\mathit{Q}$ описана окружность, а продолжения сторон $\mathit{N}\mathit{P}$ и $\mathit{M}\mathit{Q}$ пересекаются в точке $\mathit{A}$. Докажите, что треугольники $\mathit{A}\mathit{N}\mathit{M}$ и $\mathit{A}\mathit{P}\mathit{Q}$ подобны.

В треугольнике $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ с тупым углом $\mathit{C}$ проведены высоты $\mathit{A}{\mathit{A}}_1$ и $\mathit{B}{\mathit{B}}_1$. Докажите, что треугольники ${\mathit{A}}_1\mathit{C}{\mathit{B}}_1$ и $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ подобны.

Окружности с центрами в точках ${\mathit{O}}_1$ и ${\mathit{O}}_2$ пересекаются в точках $\mathit{A}$ и $\mathit{B}$, причём ${\mathit{O}}_1$ и ${\mathit{O}}_2$ лежат по одну сторону от прямой $\mathit{A}\mathit{B}$. Докажите, что прямые $\mathit{A}\mathit{B}$ и ${\mathit{O}}_1{\mathit{O}}_2$ перпендикулярны.

В трапеции $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ с основаниями $\mathit{A}\mathit{B}$ и $\mathit{C}\mathit{D}$ диагонали пересекаются в точке $\mathit{M}$. Докажите, что площади треугольников $\mathit{A}\mathit{M}\mathit{D}$ и $\mathit{C}\mathit{B}\mathit{M}$ равны.

Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, имеющих равные площади.

Основания $\mathit{A}\mathit{B}$ и $\mathit{C}\mathit{D}$ трапеции $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ равны соответственно $6$ и $24$, $\mathit{A}\mathit{C}=12$. Докажите, что треугольники $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ и $\mathit{A}\mathit{C}\mathit{D}$ подобны .

В параллелограмме $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ точка $\mathit{M}$ — середина $\mathit{B}\mathit{C}$. Известно, что $\mathit{A}\mathit{M}=\mathit{M}\mathit{D}$. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Через точку $\mathit{M}$ пересечения диагоналей параллелограмма $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ проведена прямая, пересекающая стороны $\mathit{A}\mathit{D}$ и $\mathit{B}\mathit{C}$ в точках $\mathit{E}$ и $\mathit{F}$ соответственно. Докажите, что $\mathit{A}\mathit{E}=\mathit{C}\mathit{F}$.

Высоты $\mathit{M}{\mathit{M}}_1$ и $\mathit{N}{\mathit{N}}_1$ остроугольного треугольника $\mathit{M}\mathit{N}\mathit{P}$ пересекаются в точке $\mathit{A}$. Докажите, что $\mathit{M}\mathit{A}\cdot {\mathit{M}}_1\mathit{A}=\mathit{N}\mathit{A}\cdot {\mathit{N}}_1\mathit{A}$.

Высоты $\mathit{L}{\mathit{L}}_1$ и $\mathit{N}{\mathit{N}}_1$ остроугольного треугольника $\mathit{L}\mathit{N}\mathit{O}$ пересекаются в точке $\mathit{F}$. Докажите, что углы $\mathit{L}{\mathit{L}}_1{\mathit{N}}_1$ и $\mathit{L}\mathit{N}{\mathit{N}}_1$ равны.

В выпуклом четырёхугольнике $\mathit{K}\mathit{L}\mathit{M}\mathit{N}$ углы $\mathit{L}\mathit{M}\mathit{K}$ и $\mathit{L}\mathit{N}\mathit{K}$ равны. Докажите, что углы $\mathit{L}\mathit{K}\mathit{M}$ и $\mathit{L}\mathit{N}\mathit{M}$ также равны.

Основания $\mathit{N}\mathit{P}$ и $\mathit{M}\mathit{K}$ трапеции $\mathit{M}\mathit{N}\mathit{P}\mathit{K}$ равны соответственно $9$ и $25$; $\mathit{N}\mathit{K}=15$. Докажите, что треугольники $\mathit{N}\mathit{P}\mathit{K}$ и $\mathit{M}\mathit{N}\mathit{K}$ подобны.

Трапеция с основаниями $12$ и $27$ разбита диагональю, равной $18$, на два треугольника. Докажите, что эти треугольники подобны.

Четырёхугольник $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ вписан в окружность. Продолжения его сторон $\mathit{A}\mathit{B}$ и $\mathit{D}\mathit{C}$ пересекаются в точке $\mathit{M}$. Докажите, что треугольники $\mathit{A}\mathit{M}\mathit{C}$ и $\mathit{B}\mathit{M}\mathit{D}$ подобны.