Задание 24 из ОГЭ по математике. Страница 3

В параллелограмме $\mathit{D}\mathit{E}\mathit{F}\mathit{G}$ проведена диагональ $\mathit{D}\mathit{F}$. Точка $\mathit{O}$ является центром окружности, вписанной в треугольник $\mathit{D}\mathit{E}\mathit{F}$. Расстояния от точки $\mathit{O}$ до точки $\mathit{D}$ и прямых $\mathit{D}\mathit{G}$ и $\mathit{D}\mathit{F}$ соответственно ра…

В параллелограмме $\mathit{M}\mathit{P}\mathit{Q}\mathit{K}$ сторона $\mathit{P}\mathit{Q}$ вдвое больше стороны $\mathit{M}\mathit{P}$. Точка $\mathit{E}$ — середина стороны $\mathit{P}\mathit{Q}$. Докажите, что $\angle \mathit{M}\mathit{E}\mathit{K}=90°$.

В параллелограмме $\mathit{M}\mathit{N}\mathit{P}\mathit{Q}$ сторона $\mathit{M}\mathit{N}$ вдвое больше стороны $\mathit{M}\mathit{Q}$. Точка $\mathit{A}$ — середина стороны $\mathit{M}\mathit{N}$. Докажите, что $\mathit{P}\mathit{A}$ — биссектриса угла $\mathit{Q}\mathit{P}\mathit{N}$.

В остроугольном треугольнике $\mathit{M}\mathit{N}\mathit{P}$ высоты $\mathit{M}{\mathit{M}}_1$ и $\mathit{N}{\mathit{N}}_1$ пересекаются в точке $\mathit{O}$. Докажите, что треугольники $\mathit{M}\mathit{N}\mathit{O}$ и ${\mathit{M}}_1{\mathit{N}}_1\mathit{O}$ подобны.

Окружности с центрами в точках ${\mathit{O}}_1$ и ${\mathit{O}}_2$ не имеют общих точек. Внешняя общая касательная к этим окружностям пересекает прямую ${\mathit{O}}_1{\mathit{O}}_2$ в точке $\mathit{X}$. Длины отрезков ${\mathit{O}}_1\mathit{X}$ и ${\mathit{O}}_2\mathit{X}$ относятся…

Окружности с центрами в точках ${\mathit{O}}_1$ и ${\mathit{O}}_2$ пересекаются в точках $\mathit{P}$ и $\mathit{Q}$, причём ${\mathit{O}}_1$ и ${\mathit{O}}_2$ лежат по разные стороны от прямой $\mathit{P}\mathit{Q}$. Докажите, что $\mathit{P}\mathit{Q}\perp {\mathit{O}}_1{\mathit{O}}_2$.

Биссектрисы углов $\mathit{M}$ и $\mathit{P}$ трапеции $\mathit{M}\mathit{N}\mathit{K}\mathit{P}$ с основаниями $\mathit{N}\mathit{K}$ и $\mathit{M}\mathit{P}$ пересекаются в точке $\mathit{B}$, лежащей на стороне $\mathit{K}\mathit{N}$. Докажите, что точка $\mathit{B}$ равноудалена от прямых $\mathit{M}\mathit{N}$, $\mathit{M}\mathit{P}$ и $\mathit{K}\mathit{P}$.

Биссектрисы углов $\mathit{M}$ и $\mathit{P}$ параллелограмма $\mathit{M}\mathit{N}\mathit{K}\mathit{P}$ пересекаются в точке $\mathit{A}$ стороны $\mathit{N}\mathit{K}$. Докажите, что $\mathit{A}$ — середина $\mathit{N}\mathit{K}$.

Внутри трапеции $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ с основаниями $\mathit{A}\mathit{B}$ и $\mathit{C}\mathit{D}$ на средней линии выбрали произвольную точку $\mathit{M}$. Докажите, что сумма площадей треугольников $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{M}$ и $\mathit{C}\mathit{D}\mathit{M}$ равна половине площади трапеции.

Из вершины прямого угла треугольника $\mathit{M}\mathit{N}\mathit{P}$ проведена медиана $\mathit{N}\mathit{K}$. Докажите, что площадь треугольника $\mathit{M}\mathit{N}\mathit{K}$ равна половине площади треугольника $\mathit{M}\mathit{N}\mathit{P}$.

Точка $\mathit{M}$ является произвольной внутренней точкой параллелограмма $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$. Докажите, что сумма площадей треугольников $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{M}$ и $\mathit{C}\mathit{M}\mathit{D}$ равна половине площади параллелограмма $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$.

Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении $18:5$, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой…

Точка $\mathit{M}$ — середина боковой стороны $\mathit{C}\mathit{D}$ трапеции $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$. Докажите, что площадь треугольника $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{M}$ равна половине площади трапеции.

В середине боковой стороны $\mathit{B}\mathit{C}$ трапеции $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ отмечена точка $\mathit{M}$. Докажите, что площадь треугольника $\mathit{A}\mathit{M}\mathit{D}$ равна половине площади трапеции.

В остроугольном треугольнике $\mathit{M}\mathit{N}\mathit{P}$ проведены высоты $\mathit{M}{\mathit{M}}_1$ и $\mathit{N}{\mathit{N}}_1$, которые пересекаются в точке $\mathit{K}$. Докажите, что
$\angle \mathit{M}{\mathit{M}}_1{\mathit{N}}_1=\angle \mathit{M}\mathit{N}{\mathit{N}}_1$.

Около четырёхугольника $\mathit{M}\mathit{N}\mathit{P}\mathit{Q}$ описана окружность. Лучи $\mathit{M}\mathit{N}$ и $\mathit{Q}\mathit{P}$ пересекаются в точке $\mathit{E}$. Докажите, что треугольники $\mathit{E}\mathit{N}\mathit{P}$ и $\mathit{E}\mathit{Q}\mathit{M}$ подобны.