Задание 24 из ОГЭ по математике. Страница 3
В параллелограмме $DEFG$ проведена диагональ $DF$. Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $DEF$. Расстояния от точки $O$ до точки $D$ и прямых $DG$ и $DF$ соответственно ра…
В параллелограмме $MPQK$ сторона $PQ$ вдвое больше стороны $MP$. Точка $E$ — середина стороны $PQ$. Докажите, что $∠ MEK=90^°$.
В параллелограмме $MNPQ$ сторона $MN$ вдвое больше стороны $MQ$. Точка $A$ — середина стороны $MN$. Докажите, что $PA$ — биссектриса угла $QPN$.
В остроугольном треугольнике $MNP$ высоты $MM_1$ и $NN_1$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что треугольники $MNO$ и $M_1N_1O$ подобны.
Окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ не имеют общих точек. Внешняя общая касательная к этим окружностям пересекает прямую $O_1O_2$ в точке $X$. Длины отрезков $O_1X$ и $O_2X$ относятся…
Окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $P$ и $Q$, причём $O_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны от прямой $PQ$. Докажите, что $PQ⊥ O_1O_2$.
Биссектрисы углов $M$ и $P$ трапеции $MNKP$ с основаниями $NK$ и $MP$ пересекаются в точке $B$, лежащей на стороне $KN$. Докажите, что точка $B$ равноудалена от прямых $MN$, $MP$ и $KP$.
Биссектрисы углов $M$ и $P$ параллелограмма $MNKP$ пересекаются в точке $A$ стороны $NK$. Докажите, что $A$ — середина $NK$.
Внутри трапеции $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$ на средней линии выбрали произвольную точку $M$. Докажите, что сумма площадей треугольников $ABM$ и $CDM$ равна половине площади трапеции.
Из вершины прямого угла треугольника $MNP$ проведена медиана $NK$. Докажите, что площадь треугольника $MNK$ равна половине площади треугольника $MNP$.
Точка $M$ является произвольной внутренней точкой параллелограмма $ABCD$. Докажите, что сумма площадей треугольников $ABM$ и $CMD$ равна половине площади параллелограмма $ABCD$.
Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении $18:5$, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой…
Точка $M$ — середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$. Докажите, что площадь треугольника $ABM$ равна половине площади трапеции.
В середине боковой стороны $BC$ трапеции $ABCD$ отмечена точка $M$. Докажите, что площадь треугольника $AMD$ равна половине площади трапеции.
В остроугольном треугольнике $MNP$ проведены высоты $MM_1$ и $NN_1$, которые пересекаются в точке $K$. Докажите, что
$∠ MM_1N_1=∠ MNN_1$.
Около четырёхугольника $MNPQ$ описана окружность. Лучи $MN$ и $QP$ пересекаются в точке $E$. Докажите, что треугольники $ENP$ и $EQM$ подобны.
