Задание 24 из ОГЭ по математике: задача 54

Внутри параллелограмма $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ выбрали произвольную точку $\mathit{O}$. Докажите, что сумма площадей треугольников $\mathit{B}\mathit{C}\mathit{O}$ и $\mathit{A}\mathit{D}\mathit{O}$ равна половине площади параллелограмма.

В остроугольном треугольнике $\mathit{M}\mathit{N}\mathit{P}$ высоты $\mathit{M}{\mathit{M}}_1$ и $\mathit{N}{\mathit{N}}_1$ пересекаются в точке $\mathit{O}$. Докажите, что треугольники $\mathit{M}\mathit{N}\mathit{O}$ и ${\mathit{M}}_1{\mathit{N}}_1\mathit{O}$ подобны.

Точка $\mathit{M}$ — середина боковой стороны $\mathit{C}\mathit{D}$ трапеции $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$. Докажите, что площадь треугольника $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{M}$ равна половине площади трапеции.

В треугольнике $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ с тупым углом $\mathit{C}$ проведены высоты $\mathit{A}{\mathit{A}}_1$ и $\mathit{B}{\mathit{B}}_1$. Докажите, что треугольники ${\mathit{A}}_1\mathit{C}{\mathit{B}}_1$ и $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ подобны.