Задание 24 из ОГЭ по математике: задача 53

В треугольнике $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ с тупым углом $\mathit{C}$ проведены высоты $\mathit{A}{\mathit{A}}_1$ и $\mathit{B}{\mathit{B}}_1$. Докажите, что треугольники ${\mathit{A}}_1\mathit{C}{\mathit{B}}_1$ и $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ подобны.

Точка $\mathit{M}$ является произвольной внутренней точкой параллелограмма $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$. Докажите, что сумма площадей треугольников $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{M}$ и $\mathit{C}\mathit{M}\mathit{D}$ равна половине площади параллелограмма $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$.

Внутри параллелограмма $\mathit{C}\mathit{D}\mathit{E}\mathit{F}$ выбрали произвольную точку $\mathit{P}$. Докажите, что сумма площадей треугольников $\mathit{D}\mathit{E}\mathit{P}$ и $\mathit{C}\mathit{P}\mathit{F}$ равна половине площади параллелограмма.

В остроугольном треугольнике $\mathit{M}\mathit{N}\mathit{P}$ высоты $\mathit{M}{\mathit{M}}_1$ и $\mathit{N}{\mathit{N}}_1$ пересекаются в точке $\mathit{O}$. Докажите, что треугольники $\mathit{M}\mathit{N}\mathit{O}$ и ${\mathit{M}}_1{\mathit{N}}_1\mathit{O}$ подобны.