Задание 24 из ОГЭ по математике: задача 50

Основания $\mathit{B}\mathit{C}$ и $\mathit{A}\mathit{D}$ трапеции $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ равны $8$ и $18$, а $\mathit{B}\mathit{D}=12$. Докажите, что треугольники $\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ и $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{D}$ подобны

Четырёхугольник $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ вписан в окружность. Продолжения его сторон $\mathit{A}\mathit{B}$ и $\mathit{D}\mathit{C}$ пересекаются в точке $\mathit{M}$. Докажите, что треугольники $\mathit{A}\mathit{M}\mathit{C}$ и $\mathit{B}\mathit{M}\mathit{D}$ подобны.

Основания $\mathit{N}\mathit{P}$ и $\mathit{M}\mathit{K}$ трапеции $\mathit{M}\mathit{N}\mathit{P}\mathit{K}$ равны соответственно $9$ и $25$; $\mathit{N}\mathit{K}=15$. Докажите, что треугольники $\mathit{N}\mathit{P}\mathit{K}$ и $\mathit{M}\mathit{N}\mathit{K}$ подобны.

Окружности с центрами в точках ${\mathit{O}}_1$ и ${\mathit{O}}_2$ пересекаются в точках $\mathit{A}$ и $\mathit{B}$, причём ${\mathit{O}}_1$ и ${\mathit{O}}_2$ лежат по одну сторону от прямой $\mathit{A}\mathit{B}$. Докажите, что прямые $\mathit{A}\mathit{B}$ и ${\mathit{O}}_1{\mathit{O}}_2$ перпендикулярны.