Задание 24 из ОГЭ по математике: задача 23

Окружности с центрами в точках ${\mathit{O}}_1$ и ${\mathit{O}}_2$ пересекаются в точках $\mathit{A}$ и $\mathit{B}$, причём ${\mathit{O}}_1$ и ${\mathit{O}}_2$ лежат по одну сторону от прямой $\mathit{A}\mathit{B}$. Докажите, что прямые $\mathit{A}\mathit{B}$ и ${\mathit{O}}_1{\mathit{O}}_2$ перпендикулярны.

В параллелограмме $\mathit{D}\mathit{E}\mathit{F}\mathit{G}$ проведена диагональ $\mathit{D}\mathit{F}$. Точка $\mathit{O}$ является центром окружности, вписанной в треугольник $\mathit{D}\mathit{E}\mathit{F}$. Расстояния от точки $\mathit{O}$ до точки $\mathit{D}$ и прямых $\mathit{D}\mathit{G}$ и $\mathit{D}\mathit{F}$ соответственно ра…

Внутри трапеции $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ с основаниями $\mathit{A}\mathit{B}$ и $\mathit{C}\mathit{D}$ на средней линии выбрали произвольную точку $\mathit{M}$. Докажите, что сумма площадей треугольников $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{M}$ и $\mathit{C}\mathit{D}\mathit{M}$ равна половине площади трапеции.

Трапеция с основаниями $12$ и $27$ разбита диагональю, равной $18$, на два треугольника. Докажите, что эти треугольники подобны.