Задание 25 из ОГЭ по математике

Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна $8$, а площадь равна $8\sqrt{3}$.

В трапеции $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ основания $\mathit{A}\mathit{D}$ и $\mathit{B}\mathit{C}$ равны соответственно $72$ и $18$, а сумма углов при основании $\mathit{A}\mathit{D}$ равна $90°$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $\mathit{A}$ и $\mathit{B}$ и касающейся прям…

Две касающиеся внешним образом в точке $\mathit{M}$ окружности, радиусы которых равны $14$ и $42$, вписаны в угол с вершиной $\mathit{A}$. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку $\mathit{M}$, пер…

Середина $\mathit{K}$ стороны $\mathit{A}\mathit{D}$ выпуклого четырёхугольника $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $\mathit{A}\mathit{D}$, если $\mathit{B}\mathit{C}=14$, а углы $\mathit{B}$ и $\mathit{C}$ четырёхугольника равны соответственно $133°$ и $107°$.

В треугольнике $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ биссектриса $\mathit{B}\mathit{M}$ и медиана $\mathit{A}\mathit{N}$ перпендикулярны, при этом $\mathit{A}\mathit{N}=8$, $\mathit{B}\mathit{M}=12$. Найдите стороны треугольника $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$.

Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении $37:3$, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой…

В трапеции $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ боковая сторона $\mathit{A}\mathit{B}$ перпендикулярна основанию $\mathit{B}\mathit{C}$. Окружность проходит через точки $\mathit{C}$ и $\mathit{D}$ и касается прямой $\mathit{A}\mathit{B}$ в точке $\mathit{T}$. Найдите расстояние от точки $\mathit{T}$ до прямой $\mathit{C}\mathit{D}$, е…

В выпуклом четырёхугольнике $\mathit{N}\mathit{P}\mathit{L}\mathit{M}$ диагональ $\mathit{N}\mathit{L}$ является биссектрисой угла $\mathit{P}\mathit{N}\mathit{M}$ и пересекается с диагональю $\mathit{P}\mathit{M}$ в точке $\mathit{T}$. Найдите $\mathit{N}\mathit{T}$, если известно, что около четырёхугольника $\mathit{N}\mathit{P}\mathit{L}\mathit{M}$ мо…

Окружности с радиусами $9$ и $18$ касаются внешним образом. Точки $\mathit{K}$ и $\mathit{L}$ лежат на первой окружности, точки $\mathit{M}$ и $\mathit{N}$ — на второй. При этом $\mathit{K}\mathit{M}$ и $\mathit{L}\mathit{N}$ — общие внешние касательные окружностей. Н…

Окружности с радиусами $2$ и $8$ касаются внешним образом. Точки $\mathit{K}$ и $\mathit{L}$ лежат на первой окружности, точки $\mathit{M}$ и $\mathit{N}$ — на второй. При этом $\mathit{K}\mathit{M}$ и $\mathit{L}\mathit{N}$ — общие внешние касательные окружностей. На…

В треугольнике $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ на его медиане $\mathit{B}\mathit{N}$ отмечена точка $\mathit{M}$ так, что $\mathit{B}\mathit{M}:\mathit{M}\mathit{N}=5:2$. Прямая $\mathit{A}\mathit{M}$ пересекает сторону $\mathit{B}\mathit{C}$ в точке $\mathit{T}$. Найдите отношение площади треугольника $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{M}$ к площади четырёхуго…

Основания трапеции относятся как $3:5$. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?

Основания трапеции относятся как $2:7$. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?

В трапеции $\mathit{K}\mathit{L}\mathit{M}\mathit{N}$ основания $\mathit{K}\mathit{N}$ и $\mathit{L}\mathit{M}$ равны соответственно $80$ и $10$, а сумма углов при основании $\mathit{K}\mathit{N}$ равна $90°$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $\mathit{K}$ и $\mathit{L}$ и касающейся прям…

В треугольнике $\mathit{K}\mathit{L}\mathit{M}$ биссектриса угла $\mathit{K}$ делит высоту, проведённую из вершины $\mathit{L}$, в отношении $29:21$, считая от точки $\mathit{L}$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $\mathit{K}\mathit{L}\mathit{M}$, есл…

В треугольнике $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ биссектриса угла $\mathit{A}$ делит высоту, проведённую из вершины $\mathit{B}$, в отношении $17:8$, считая от точки $\mathit{B}$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$, если…

Середина $\mathit{K}$ стороны $\mathit{A}\mathit{D}$ выпуклого четырёхугольника $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $\mathit{A}\mathit{D}$, если $\mathit{B}\mathit{C}=18$, а углы $\mathit{B}$ и $\mathit{C}$ четырёхугольника равны соответственно $123°$ и $102°$.

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны $7$ и $24$, а средняя линия равна $12,5$.

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен $104$, а площадь равна $624$, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего осн…

Медиана $\mathit{B}\mathit{M}$ и биссектриса $\mathit{A}\mathit{P}$ треугольника $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ пересекаются в точке $\mathit{K}$, длина стороны $\mathit{A}\mathit{B}$ относится к длине стороны $\mathit{A}\mathit{C}$ как $10:7$. Найдите отношение площади четырёхугольника $\mathit{K}\mathit{P}\mathit{C}\mathit{M}$ к площа…