Задание 8 из ЕГЭ по математике (профиль)
Тема: «Задачи с прикладным содержанием»
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. Функция $F(x)=x^3-6x^2+14x+{1} / {2}$ — одна из первообразных функции $f(x)$. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
На рисунке изображён график функции $y=F(x)$ — одной из первообразных функции $f(x)$, определённой на интервале $(-6; 7)$. Найдите количество решений уравнения $f(x)=0$ на отрезке $[-3; 4]$.…
Материальная точка движется прямолинейно по закону
$x(t)={2} / {3}t^3-4t^2-12t$, где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Най…
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. Найдите среди точек $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ те точки, в которых производная функции $f(x)$ равна нулю. В ответе запишите количество н…
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке $x_0$. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции $g(x)=4f(x)-12$ …
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-7; 8)$. Найдите, в какой точке отрезка $[-4; 4]$ функция принимает наибольшее значение.
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-5; 8)$. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельн…
Прямая $y=5x+4$ параллельна касательной к графику функции $y=x^2-4x-12$. Найдите абсциссу точки касания.
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на интервале $(-7; 10)$. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой $y=-3$ или совпад…
На рисунке (см. с. ) изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-5; 7)$. В какой точке отрезка $[-3; 2]$ $f(x)$ принимает наименьшее значение?
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и отмечены точки $-4; -1; 3; 6$. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и отмечены точки $-3; -1; 2; 6$. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. Функция $F(x)=x^3+6x^2+13x+4$ — одна из первообразных функции $f(x)$. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. Найдите среди точек $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$ те точки, в которых производная функции $f(x)$ положительна. В ответе запишите колич…
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-5;8)$. Найдите точку экстремума функции $f(x)$, принадлежащую отрезку $[-3;7]$.
На рисунке изображён график функции $y=F(x)$, которая является первообразной для функции $y=f(x)$. Найдите площадь под графиком функции $y=f(x)$ на отрезке $[2; 6]$.
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ производной функции $f(x)$. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику $y=f(x)$ параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ производной функции $f(x)$. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику $y=f(x)$ параллельна прямой $y=2x+2$ или совпадает с ней.
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-8;6)$. В какой точке отрезка $[-5;-4]$ функция принимает наименьшее значение?
Шесть типов текстовых задач представлены в номере восемь из ЕГЭ по математике. Типичным вопросом в теме «Проценты, сплавы и смеси» можно назвать такой: «В 2008 году в общежитии проживало 240 студентов. На следующий год стало на 34% больше, а еще через год — еще больше, теперь уже по сравнению с 2009, на 18%. Сколько студентов начали проживать в общежитии в 2010?». Есть вопросы о сплавах, а также на вариации экономических, к примеру, на поиск доли заработка определенного акционера в полном заработке компании.
Есть в экзаменационных билетах условия на движение по прямой («Из пункта А в пункт Б выехали одновременно два автомобиля…», а далее условие может быть каким угодно). Данные вариации часто не являются трудными для выпускников, в отличие от формулировок в задании 8 на тему «Движение по окружности». Сложны, но традиционно интересны для учащихся задания о движении по воде — по течению или против него.
Совместная работа же приносит больше всего трудностей в номере 8 по математике. Один из вариантов: «На выполнение 101 заготовки машина А. тратит на 2 часа больше, чем машина Б. на изготовление 111 таких же заготовок. При этом рабочий А. за 1 час производит на 1 деталь меньше, чем рабочий Б. Сколько всего таких заготовок делает за 2 часа рабочий Б.?». Еще одна вариация условий, применяемых в этом задании — вычисление прогрессий, арифметических или геометрических: «Жители красят забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая количество покрашенных секций забора на одно и то же число. В первый и в последний день всего они окрасили 100 м ограждения. Какое количество дней продлилась работа по покраске забора?».
