Задание 14 из ЕГЭ по математике (профиль): задача 11

В основании прямой треугольной призмы $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1$ лежит равнобедренный треугольник $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ с основанием $\mathit{A}\mathit{C}$. Точка $\mathit{D}$ — середина ребра ${\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1$, а точка $\mathit{F}$ делит ребро $\mathit{A}\mathit{C}$ в отношении $\mathit{A}\mathit{F}:\mathit{F}\mathit{C}=1:3$.…

Дана правильная призма $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$, точка $\mathit{M}$ лежит на ребре $\mathit{C}\mathit{D}$, точка $\mathit{N}$ лежит на ребре $\mathit{B}\mathit{C}$, при этом $\mathit{C}\mathit{M}=\frac{1}{3}\mathit{C}\mathit{D},\mathit{C}\mathit{N}=\frac{1}{3}\mathit{B}\mathit{C}$, точка $\mathit{L}$ - середина $\mathit{M}\mathit{N}$.

а) Докажите, что прямые ${\mathit{A}}_1\mathit{L}$ …

Основание $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ правильной треугольной пирамиды $\mathit{D}\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ вписано в основание конуса с вершиной $\mathit{S}$, а вершина $\mathit{D}$ пирамиды расположена на высоте $\mathit{S}\mathit{O}$ конуса. Объём конуса равен $36\mathit{\pi }$, объём пира…

В прямоугольном параллелепипеде $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$ известны длины рёбер $\mathit{A}{\mathit{A}}_1=3\sqrt{2}$, $\mathit{A}\mathit{B}=3$, $\mathit{A}\mathit{D}=8$. Точка $\mathit{K}$ делит отрезок ${\mathit{A}}_1{\mathit{D}}_1$ в отношении $3:1$, считая от вершины ${\mathit{A}}_1$. а) Докажите, что п…