Задание 14 из ЕГЭ по математике (профиль): задача 11

Внутри цилиндра расположен куб $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$ так, что все его вершины лежат на поверхности цилиндра, причём вершины $\mathit{B}$ и ${\mathit{D}}_1$ совпадают с центрами оснований, а остальные вершины л…

Дана правильная призма $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$, точка $\mathit{M}$ лежит на ребре $\mathit{C}\mathit{D}$, точка $\mathit{N}$ лежит на ребре $\mathit{B}\mathit{C}$, при этом $\mathit{C}\mathit{M}=\frac{1}{3}\mathit{C}\mathit{D},\mathit{C}\mathit{N}=\frac{1}{3}\mathit{B}\mathit{C}$, точка $\mathit{L}$ - середина $\mathit{M}\mathit{N}$.

а) Докажите, что прямые ${\mathit{A}}_1\mathit{L}$ …

В прямоугольном параллелепипеде $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$ известны длины рёбер $\mathit{A}{\mathit{A}}_1=3\sqrt{2}$, $\mathit{A}\mathit{B}=3$, $\mathit{A}\mathit{D}=8$. Точка $\mathit{K}$ делит отрезок ${\mathit{A}}_1{\mathit{D}}_1$ в отношении $3:1$, считая от вершины ${\mathit{A}}_1$. а) Докажите, что п…

В правильной шестиугольной пирамиде $\mathit{S}\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}\mathit{E}\mathit{F}$ сторона основания $\mathit{A}\mathit{B}=8$, а боковое ребро $\mathit{S}\mathit{D}=10$. Точка $\mathit{P}$ — середина ребра $\mathit{A}\mathit{B}$. Через точки $\mathit{P}$ и $\mathit{D}$ перпендикулярно плоскости $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ проведена пл…