Задание 19 из ЕГЭ по математике (профиль): задача 26
На полигоне расположены $500$ узлов связи, некоторые из которых соединены проводами (провода прямые, один провод соединяет ровно $2$ узла, между любыми двумя узлами проходит не более одного провода). Система узлов связна, то есть из любого узла можно передать сигнал в любой другой (возможно, через промежуточные узлы). Будем называть узел существенным, если его ликвидация приводит к тому, что система оставшихся узлов перестаёт быть связной. При ликвидации узла все провода, которые вели непосредственно к нему, перестают функционировать. а) Может ли в системе не быть существенных узлов? б) Может ли каждый существенный узел быть соединён только с несущественными, если существенных узлов ровно $2$? в) Какое наибольшее число узлов могут быть существенными, если каждый существенный узел соединён прямыми проводами исключительно с несущественными узлами?
Объект авторского права ООО «Легион»
Вместе с этой задачей также решают:
Пусть S(x) - сумма цифр натурального числа x. Решите уравнения:
а) x + S(x) = 2017;
б) x + S(x) + S(S(x)) = 2017;
в) x + S(x) + S(S(x)) + S(S(S(x))) = 2017.
Можно ли первые $n$ натуральных чисел разбить на группы по три числа в каждой так, чтобы в каждой группе одно из чисел равнялось сумме двух других? Решите задачу для: а) $n=15$; б) $n=33$;…
На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 11, среднее арифметическое всех положительных из них равно 18, а среднее арифметическое…
