Задание 14 из ЕГЭ по математике (профиль): задача 48

Дана правильная призма $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1,\mathit{M}$ и $\mathit{N}$ - середины рёбер $\mathit{A}\mathit{B}$ и $\mathit{B}\mathit{C}$ соответственно, точка $\mathit{K}$ - середина $\mathit{M}\mathit{N}$.

а) Докажите, что прямые $\mathit{K}{\mathit{D}}_1$ и $\mathit{M}\mathit{N}$ перпендикулярны.

б) Найдите угол ме…

В правильной четырёхугольной призме $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$ стороны основания равны $8$, а боковые рёбра равны $12$. Точка $\mathit{P}$ — середина ребра $\mathit{A}{\mathit{A}}_1$, на ребре $\mathit{D}{\mathit{D}}_1$ отмечена точка $\mathit{T}$ так, что $\mathit{D}\mathit{T}:\mathit{T}{\mathit{D}}_1=1:5$.…

В основании пирамиды $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ лежит правильный треугольник $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$. Все боковые рёбра наклонены к основанию под одним и тем же углом.

а) Докажите, что $\mathit{A}\mathit{B}\perp \mathit{C}\mathit{D}$.

б) Найдите расстояние между …

Основание $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ правильной четырёхугольной пирамиды $\mathit{S}\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ вписано в нижнее основание цилиндра, а вершина $\mathit{S}$ расположена на оси $\mathit{O}{\mathit{O}}_1$ цилиндра (${\mathit{O}}_1$ — центр верхнего основания цилиндра)…