Задание 19 из ЕГЭ по математике (профиль): задача 49
Бесконечная арифметическая прогрессия $a_1, a_2, . . . , a_n, . . .$ состоит из различных натуральных чисел.
а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел $a_1, a_2, . . . , a_7$ ровно три числа делятся на $90$?
б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел $a_1, a_2, . . . , a_{40}$ ровно $11$ чисел делятся на $90$?
в) Для какого наибольшего натурального числа n могло оказаться так, что среди чисел $a_1, a_2, . . . , a_{3n}$ больше кратных $90$, чем среди чисел $a_{3n+1}, a_{3n+2}, . . . , a_{7n}$, если дополнительно известно, что разность прогрессии равна $1$?
Объект авторского права ООО «Легион»
Вместе с этой задачей также решают:
В ряд выписаны $n$ натуральных чисел. Сумма любых пяти последовательных чисел равна $20$.
а) Возможно ли, что сумма всех чисел равна $8071$, если $n = 2015$?
б) Возможно ли, что сумма всех…
Имеется $40$ куч одинаковых камней, во всех кучах различное натуральное число камней, а общее число камней не превышает $4820$. Найдите наибольшее возможное число камней в самой малень…
Имеется $100$ куч одинаковых камней, во всех кучах различное натуральное число камней. Найдите наименьшее возможное число камней в самой большой куче в каждом из следующих случаев:
…