Задание 17 из ЕГЭ по математике (профиль): задача 34

В окружности с центром $\mathit{O}$ проведён диаметр $\mathit{M}\mathit{N}$, отмечены точка $\mathit{K}$ — середина дуги $\mathit{M}\mathit{N}$, точка $\mathit{A}$ — середина хорды $\mathit{M}\mathit{K}$ и точка $\mathit{B}$ — середина дуги $\mathit{K}\mathit{N}$.

а) Докажите, что $\mathit{A}\mathit{B}:\mathit{M}\mathit{N}=\sqrt{3}:\sqrt{8}$.

б) На…

В треугольнике $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ с прямым углом $\mathit{C}$ $\mathit{M}\mathit{N}$ - средняя линия, параллельная стороне $\mathit{A}\mathit{C}$. Биссектриса угла $\mathit{A}$ пересекает луч $\mathit{M}\mathit{N}$ в точке $\mathit{K}$.

а) Докажите, что $△\mathit{B}\mathit{K}\mathit{C}~△\mathit{A}\mathit{M}\mathit{K}$.

б) Найдите отношение ${\mathit{S}}_{\mathit{B}\mathit{K}\mathit{C}}:{\mathit{S}}_{\mathit{A}\mathit{M}\mathit{K}}$,…

Две окружности с центрами ${\mathit{O}}_1$ и ${\mathit{O}}_2$ соответственно касаются внешним образом. Из точки ${\mathit{O}}_1$ проведена касательная ${\mathit{O}}_1\mathit{T}$ ко второй окружности ($\mathit{T}$ - точка касания), а из точки ${\mathit{O}}_2$ провед…

В равнобедренной трапеции $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ меньшее основание $\mathit{B}\mathit{C}$ равно боковой стороне. На плоскости взята точка $\mathit{E}$ так, что прямая $\mathit{B}\mathit{E}$ перпендикулярна $\mathit{A}\mathit{D}$ и прямая $\mathit{C}\mathit{E}$ перпендикулярна $\mathit{B}\mathit{D}$. а) Докаж…