Задание 24 из ОГЭ по математике: задача 4

Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении $18:5$, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой…

Точка $\mathit{M}$ является произвольной внутренней точкой параллелограмма $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$. Докажите, что сумма площадей треугольников $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{M}$ и $\mathit{C}\mathit{M}\mathit{D}$ равна половине площади параллелограмма $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$.

Около четырёхугольника $\mathit{M}\mathit{N}\mathit{P}\mathit{Q}$ описана окружность. Лучи $\mathit{M}\mathit{N}$ и $\mathit{Q}\mathit{P}$ пересекаются в точке $\mathit{E}$. Докажите, что треугольники $\mathit{E}\mathit{N}\mathit{P}$ и $\mathit{E}\mathit{Q}\mathit{M}$ подобны.

В треугольнике $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ с тупым углом $\mathit{C}$ проведены высоты $\mathit{A}{\mathit{A}}_1$ и $\mathit{B}{\mathit{B}}_1$. Докажите, что треугольники ${\mathit{A}}_1\mathit{C}{\mathit{B}}_1$ и $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ подобны.